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  • 扩展欧几里得 exgcd

    •扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x,y,使它们满足贝祖等式: ax+by = gcd(a, b) = d(解一定存在,根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。
     
    •设 a>b。
    •1,显然当 b=0,gcd(a,b)=a。此时 x=1,y=0;
    •2,ab<>0 时
    •设 ax1+by1=gcd(a,b);
    •bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);
    •根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
    •则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;
    •即:ax1+by1=bx2+(a-[a/b]*b)y2=ay2+bx2-[a/b]*by2;
    •也就是ax1+by1==ay2+b(x2-[a/b]*y2);
    •根据恒等定理得:x1=y2; y1=x2-[a/b]*y2;
    •这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法:x1,y1 的值基于 x2,y2.
    •上面的思想是以递归定义的,因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0,所以递归可以结束。
     
    代码:
    int exgcd(int a,int b,int& x,int&y){
        if(b==0){
            x=1; y=0;
            return a;
        }
        int x2,y2;
        int d=exgcd(b,a%b,x2,y2);
        x=y2; y=x2-(a/b)*y2;
        return d;
    }
     
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