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  • LightOJ 1236 Pairs Forming LCM(算数基本定理)

    题意:在a,b中(a,b<=n)(1 ≤ n ≤ 1014),有多少组(a,b)  (a<b)满足lcm(a,b)==n;

    先来看个知识点:

    素因子分解:n = p1 ^ e1 * p2 ^ e2 *..........*pn ^ en

    for i in range(1,n):

            ei 从0取到ei的所有组合

    必能包含所有n的因子。

    现在取n的两个因子a,b

    a=p1 ^ a1 * p2 ^ a2 *..........*pn ^ an

    b=p1 ^ b1 * p2 ^ b2 *..........*pn ^ bn

    gcd(a,b)=p1 ^ min(a1,b1) * p2 ^ min(a2,b2) *..........*pn ^ min(an,bn)

    lcm(a,b)=p1 ^ max(a1,b1) * p2 ^ max(a2,b2) *..........*pn ^ max(an,bn)

    哈哈,又多了种求gcd,lcm的方法。

    题解:

    先对n素因子分解,n = p1 ^ e1 * p2 ^ e2 *..........*pk ^ ek,

    lcm(a,b)=p1 ^ max(a1,b1) * p2 ^ max(a2,b2) *..........*pk ^ max(ak,bk)

    所以,当lcm(a,b)==n时,max(a1,b1)==e1,max(a2,b2)==e2,…max(ak,bk)==ek

    当ai == ei时,bi可取 [0, ei] 中的所有数  有 ei+1 种情况,bi==ei时同理。

    那么就有2(ei+1)种取法,但是当ai = bi = ei 时有重复,所以取法数为2(ei+1)-1=2*ei+1。
    除了 (n, n) 所有的情况都出现了两次  那么满足a<=b的有 (2*ei + 1)) / 2 + 1 个

     

    #include <bits/stdc++.h>
    
    using namespace std;
    
    const int maxn=1e6+10;
    const int maxm=1e7+5;
    
    bool isprime[maxm];
    int prime[maxn];
    int cnt=0;
    
    void is_prime()
    {
        cnt=0;
        memset(isprime,0,sizeof(isprime));
        for(int i=2;i<maxm;i++)
        {
            if(!isprime[i])
            {
                prime[cnt++]=i;
                for(int j=i+i;j<maxm;j+=i)
                {
                    isprime[j]=1;
                }
            }
        }
    }
    
    
    long long n;
    int T;
    
    int main()
    {
        cin>>T;
        is_prime();
        for(int k=1;k<=T;k++)
        {
            cin>>n;
            int ans=1;
            for(int i=0;i<cnt&&prime[i]*prime[i]<=n;i++)
            {
                if(n%prime[i]==0)
                {
                    int e=0;
                    while(n%prime[i]==0)
                    {
                        e++;
                        n/=prime[i];
                    }
                    if(e) ans*=(e*2+1);
                }
    
            }
            if(n>1) ans*=3;
     printf("Case %d: %d
    ",k,(ans+1)/2);    }
        return 0;
    }
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/Fy1999/p/9740871.html
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