线性代数学习笔记（代数篇）

1.向量

高中必修一知识，以二维向量为例。

本章只选取了与代数有较大关联的内容，完整版见几何篇。

1.1向量的表示

也就是后文提到的列向量，表示为 (egin{bmatrix}a\bend{bmatrix})​

1.2向量的运算

1.2.1点积

[(a,b)cdot (c,d)=ac+bd ]

描述为更符合线性代数的形式：

[egin{bmatrix} a&bend{bmatrix}cdotegin{bmatrix} c\ dend{bmatrix} =ac+bd ]

1.2.2叉积

向量叉积与行列式有关。

[vec v imes vec p={ m det}left (egin{bmatrix} vec i&v_1&p_1\vec j&v_2&p_2\vec{k}&v_3&p_3end{bmatrix} ight) ]

2.矩阵

2.1一些概念

对于矩阵 (A)​ ：

• 主对角线：即 (A_{i,i}) 元素组成的集合。
• 单位矩阵：表示为 (I)，指主对角线中元素为1，其余元素为0的矩阵。
• 逆矩阵：满足 (A imes A^{-1}=I)​ 的矩阵 (A^{-1})​
• 矩阵的转置：记为 (A^T)​，其中，(A^T_{i,j}=A_{j,i})​
• 行向量：1 行 (n) 列的矩阵。
• 列向量：(n) 行 1 列的矩阵。
• (n)​ 阶方阵：(n imes n)​​ 的矩阵 (A_n)​
• 上/下三角矩阵：对角线下/上全为 0 的矩阵

2.2矩阵乘法

设 (A)​​​ 是大小 (r imes m)​​​ 的矩阵，(B)​​​ 是大小为 (m imes c) 的矩阵，令 (C=A imes B)​，则

[C_{i,j}=sum_{k=1}^m A_{i,k}B_{k,j} ]

3.行列式

2.1bigformula定义

对于 (n) 阶方阵 (A=(a_{i,j}))​ ，定义

[{ m det}(A)=sum_{sigmain S_n}{ m sgn}(sigma )prod _{i=1}^na_{i,sigma(i)} ]

其中，(S_n) 是指长度为 (n) 的全体排列的集合，(sigma) 是一个全排列，如果 ({sigma}) 的逆序对对数为偶数，则 ({ m sgn}(sigma)=1)，否则 ({ m sgn}(sigma) = -1)

简记为 ({ m det}(A)=|A|)​

人话：从矩阵的每一行中挑出一个数累乘，每个数用一个与排列的逆序对相关的数作为系数。

2.2性质

以三阶行列式为例。

不需要死记硬背，建议从几何意义上理解

• (|I|=1)

• 在行列式中，一行（列）元素全为0，则此行列式的值为0

  [left|egin{matrix}0&0&0\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}end{matrix} ight |=left|egin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&0\a_{2,1}&a_{2,2}&0\a_{3,1}&a_{3,2}&0end{matrix} ight | = 0 ]

• 在行列式中，某一行（列）有公因子 (k)，则可以提出 (k)

  [left|egin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\ka_{2,1}&ka_{2,2}&ka_{2,3}\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}end{matrix} ight |=kleft|egin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}end{matrix} ight | ]

• 在行列式中，若某一行（列）的每个元素是两数之和，则可以拆分为两个相加的行列式

  [left|egin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\a_{2,1}+b_{2,1}&a_{2,2}+b_{2,2}&a_{2,3}+b_{2,3}\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}end{matrix} ight |=left|egin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}end{matrix} ight |+left|egin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\b_{2,1}&b_{2,2}&b_{2,3}\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}end{matrix} ight | ]

• 在行列式中，两行（列）互换，行列式符号取反

  [left|egin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}end{matrix} ight |=-left|egin{matrix}a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}end{matrix} ight | ]

• 在行列式中，有两行（列）对应成比例，则行列式值为 0

  [left|egin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\ka_{2,1}&ka_{2,2}&ka_{2,3}end{matrix} ight |=0 ]

• 在行列式中，将一行（列）的 (k) 倍加入另一行（列）中，行列式的值不变

  [left|egin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}end{matrix} ight |=left|egin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\a_{2,1}+ka_{1,2}&a_{2,2}+ka_{1,2}&a_{2,3}+ka_{1,3}\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}end{matrix} ight | ]

• 将行列式的行列互换，行列式的值不变，即

  [|A|=|A^{T}| ]

• 对于上三角矩阵

  [left|egin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\0&a_{2,2}&a_{2,3}\0&0&a_{3,3}end{matrix} ight |=a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3} ]

• 行列式乘法定理

  [{ m det}(AB)={ m det}(A){ m det}(B) ]

  特别地，当与常数 (r) 相乘时，有

  [{ m det}(rA)={ m det}(rIcdot A)={ m det}(rI){ m det}(A)=r^n{ m det}(A) ]

2.3求解行列式

对于 (n) 阶方阵 (A)，有

2.3.1定义法

直接按照定义式计算，时间复杂度 (Theta(ncdot n!))​

2.3.2高斯消元

通过 2.2 罗列的性质可知，行列式是可以进行消元操作的，因此可以通过高斯消元，将原矩阵简化为三角矩阵，时间复杂度 (Theta(n^3))。

2.3.3行列式展开

2.3.3.1代数余子式

将 (A)​​​​​ 的某些行与列去掉（假设去掉 (i)​​​ 行 (j)​​​ 列）之后所余下的方阵的行列式，其相应的方阵有时被称为余子阵，记为 (M_{ij})​​​​

一个矩阵 (A=(a_{i,j}))​​ 的代数余子式：(C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij})​

2.3.3.2Laplace展开

对于第 (i)​ 行，有 ({ m det}(A)=sum_{j=1}^na_{i,j}C_{ij})​​

对于第 (j)​​​ 列，有 ({ m det}(A)=sum_{i=1}^n a_{i,j}C_{ij})​

2.3.3.3余因子矩阵、伴随矩阵与逆矩阵

矩阵 ({ m cof}(A)=(C_{ij})_{i,j})​ 称作 (A)​ 在 ((i,j))​ 的余因子矩阵，即将 (C_{ij}) 摆在矩阵的第 (i) 行第 (j) 列。

({ m cof}(A)) 的转置矩阵称为 (A) 的伴随矩阵，记为 ({ m adj}(A))

如果矩阵 (A) 可逆，则 (A^{-1}=dfrac{{ m adj}(A)}{{ m det}(A)}=dfrac{A^*}{|A|})，(A^*) 表示 (A)​ 的伴随矩阵。

2.4Cauchy-Binet公式

给定两个 (n imes m) 的矩阵，有

[{ m det}(AB^T)=egin{cases}0&m<n\ sum_{1leq i_1 < i_2<...<i_mleq n}{ m det}(A_{i_1,i_2,...,i_m}){ m det}(B _{i_1,i_2,...,i_m})&mge nend{cases} ]

其中 (A_{i_1,i_2,...,i_m}) 为 (A) 保留 (i_1,i_2,...,i_m) 列所得的矩阵。

2.3一些定理

2.3.1矩阵树定理

坑待补...

2.3.2LGV引理

坑待补...

3.参考文献

1. 矩阵树定理(+行列式) - command_block 的博客 - 洛谷博客 (luogu.com.cn)
2. 【5】行列式 - 知乎 (zhihu.com)
3. 【官方双语/合集】线性代数的本质 - 系列合集_哔哩哔哩_bilibili
4. Determinant - Wikipedia
5. 矩阵树定理 - OI Wiki (oi-wiki.org)
6. LGV 引理 - OI Wiki (oi-wiki.org)

敬请期待：线性代数学习笔记（几何篇）