子矩阵（NOIP2014T4）

子矩阵：（题目右转洛谷P2258）

这道题题意很简单，意思是在n行中选r行，在m列中选c列，这样行和列交叉的点就形成了一个r行c列的矩阵。问在所有这样的矩阵中，上矩阵中相邻每两数之差的绝对值和的最小值是多少。

贴一个样例的说明图： 

  

看到这题第一反应就是暴力！在n行中取r个进行组合，在从m列中取c个进行组合，然后计算出所得矩阵的值，再求最小值即可。那么这样的时间复杂度是多少呢？本人粗略算了一下，最差大概是C(16,8)^2=165,636,900 很明显超时了......所以考虑优化：

问题来了，如何优化？枚举行，然后贪心列吗？但只要细心思考一下，就会发现贪心是不可行的。那么怎么办？

贪心不行，自然考虑是动态规划啦！能不能动态规划首先要考虑的是有没有后效性。如果我们枚举行(hang)，那么动态规划要解决的问题就是在m列中选c列，使组成的子矩阵值最大。设 f[i][j] 表示在 i 列中选了（过去式） j 列（第 i 列必须选）的最大值，这我们需预处理一些值：lc[i]（原谅我英文不好lie'cha）表示第 i 列中的（每个数之差的绝对值） 之和，hc[i][j] （hang'cha）表示第 i 列的每个数与 第 j 列每个数之差的绝对值之和。那么就有：

f[i][j] = max( f[i][j] , f[k][j-1] + hc[i][k] + lc[i] )

初始化：f[1][1] = lc[1]

注意边界：f[i][1] = lc[i] and (i==j) f[i][j] = f[i-1][j-1] + hc[i][j-1] + lc[i]

注：认真思考就很容易懂得（这是一个线性DP!）

那我们再来算算时间复杂度：最差情况大概是 C(16,8) * m^3 大概是52,715,520（emmm......卡卡常就卡过啦）

下面你懂得（不负责任地贴代码......）：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=20;
const int INF=2147483647;
int a[maxn][maxn];
int n,m,r,c,ans;
int vish[maxn],hc[maxn][maxn],lc[maxn],f[maxn][maxn];
void Memset()                                                     //预处理
{
    for(int i=1; i<=m; i++)
       lc[i]=0;
    for(int i=1; i<=m; i++)
       for(int j=1; j<=m; j++)
          hc[i][j]=0;
    for(int i=1; i<=m; i++)
        for(int j=1; j<r; j++)
            lc[i]+=abs(a[vish[j]][i]-a[vish[j+1]][i]);
    for(int i=2; i<=m; i++)
        for(int j=1; j<i; j++)
            for(int k=1; k<=r; k++)
                hc[i][j]+=abs(a[vish[k]][i]-a[vish[k]][j]);
}
void makeans()
{
    f[1][1]=lc[1];
    for(int i=2; i<=m; i++)
    {
        for(int j=1; j<=(i<c?i:c); j++)
        {
            f[i][j]=INF;
            if(j==1) f[i][j]=lc[i];                              //边界
            else if(i==j) f[i][j]=f[i-1][j-1]+hc[i][j-1]+lc[i];  //边界*2
            else 
            {
                for(int k=i-1; k>=j-1; k--)
                   f[i][j]=min(f[i][j],f[k][j-1]+hc[i][k]+lc[i]); //状态转移方程
            }
            if(j==c) ans=min(ans,f[i][c]);                        //记录最小值
        }
    }
    return ;
}
void dfs(int k,int j)                                             //回溯法求组合数
{
    if(k==r+1) {Memset();makeans();return ;}
    for(int i=j+1; i<=n; i++)
    {
        vish[k]=i;
        dfs(k+1,i);
    }
}
int main()
{
    ans=INF;
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&r,&c);
    for(int i=1; i<=n; i++)
       for(int j=1; j<=m; j++)
          scanf("%d",&a[i][j]);
    dfs(1,0);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}