点分治学习笔记

点分治：

引出：

给定一个 (n(nleq 10^4)) 个节点的树，树枝有边权，求距离不超过 (k) 的点的对数。

求解：

直接 (mathcal{O}(n^2)) 行不通，我们要想一个更快的方法。

考虑用点分治。我们先把任意一点作为根节点 (rt) 分出若干子树。如图，绿点就是两个合法方案：

这样就能得到两种情况：

1. 点对处于同一个子树。
2. 点对处于不同子树。

对于情况一，我们可以把它看作是一个与原问题相同的子问题，可以递归求解！

然后是情况二，直接求解不同子树方案数有点困难，但是，我们对于相同子树的方案数就容易了。所以可以运用前缀和的思想，用总共合法方案数减去来自相同子树的方案数就是答案了。

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但是这还是不够优秀，这在最坏的情况下是 (mathcal{O}(n^3log n)) 的，比暴力还暴力。考虑优化，从问题本身思考，我们慢主要是因为递归的层数太多了，想办法优化这里。

要让递归层数变小，就不能拿任意一点作根节点，要用树的重心（说白了就是让节点数最多的子树节点数最小），这样由重心划出的子树的节点数都不会超过树的大小的一半。

懒得证明了。总而言之，每次用中心作根节点的总复杂度就是 (mathcal{O}(nlog^2 n)) 了。

代码：

const int N = 4e4 + 10;

int n;ll k;

struct edge
{
	int to, nxt, val;
}e[N << 1];
int head[N], tot;
void Add(int u, int v, int w) {e[++tot] = (edge){v, head[u], w}, head[u] = tot;}

bool vis[N];
ll sz[N], son[N]; 
ll rt, sum;
void getRoot(int u, int fa)
{
	sz[u] = 1, son[u] = 0;
	for (int i = head[u], v; i; i = e[i].nxt)
	{
		v = e[i].to;
		if (vis[v] || v == fa) continue;
		getRoot(v, u);
		sz[u] += sz[v];
		son[u] = max(son[u], sz[v]);
	}
	son[u] = max(son[u], sum - sz[u]);
	if (son[u] < son[rt]) rt = u;
}

ll dis[N], dissort[N], cnt;
ll ans;

void getDis(int u, int fa)
{
	dissort[++cnt] = dis[u];
	for (int i = head[u]; i; i = e[i].nxt) 
	{
		int v = e[i].to;
		if (v == fa || vis[v]) continue;
		dis[v] = dis[u] + e[i].val;
		getDis (v, u);
	}
}

ll solve (int u, int w)
{
	cnt = 0; dis[u] = w; getDis(u, 0);
	sort (dissort + 1, dissort + 1 + cnt);
	int l = 1, r = cnt;ll ans = 0;
	while (l <= r) 
		if (dissort[r] + dissort[l] <= k)
			ans += r - l, l++;
		else
			r--;
	return ans;
} 


void calc (int u)
{
	vis[u] = 1;	ans += solve(u, 0);
	for (int i = head[u]; i; i = e[i].nxt)
	{
		int v = e[i].to;
		if (vis[v]) continue;
		ans -= solve (v, e[i].val);
		
		//Figure 1:
		sum = sz[v], son[0] = n, rt = 0;
		getRoot(v, u), calc(rt);
	}
}

int main()
{
	scanf ("%d", &n);
	for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		int u, v, w;
		scanf ("%d%d%d", &u, &v, &w);
		Add(u, v, w), Add(v, u, w);
	}
	scanf ("%lld", &k);
	son[0] = sum = n, getRoot(1, 0), calc(rt);
	printf ("%lld
", ans);
    return 0;
}

例题：

【Luogu P3806】【模板】点分治1

求解：

和上一道题一样。看代码理解吧。

代码：

const int N = 4e4 + 10, K = 1e7 + 10;

int n;ll k;
int m;

struct edge
{
	int to, nxt, val;
}e[N << 1];
int head[N], tot;
void Add(int u, int v, int w) {e[++tot] = (edge){v, head[u], w}, head[u] = tot;}

bool vis[N];
ll sz[N], son[N]; 
ll rt, sum;
void getRoot(int u, int fa)
{
	sz[u] = 1, son[u] = 0;
	for (int i = head[u], v; i; i = e[i].nxt)
	{
		v = e[i].to;
		if (vis[v] || v == fa) continue;
		getRoot(v, u);
		sz[u] += sz[v];
		son[u] = max(son[u], sz[v]);
	}
	son[u] = max(son[u], sum - sz[u]);
	if (son[u] < son[rt]) rt = u;
}

ll dis[N], CanGet[N], FaTree[N], cnt, Query[N];
ll ans;
bool num[K];

void getDis(int u, int fa, int Rt)
{
	CanGet[++cnt] = u;
	FaTree[u] = Rt;
	for (int i = head[u]; i; i = e[i].nxt) 
	{
		int v = e[i].to;
		if (v == fa || vis[v]) continue;
		dis[v] = dis[u] + e[i].val;
		getDis (v, u, Rt);
	}
}

bool cmp (int x, int y) {return dis[x] < dis[y];} 

void solve (int u)
{
	cnt = 0; 
	CanGet[++cnt] = u;
	FaTree[u] = u;
	dis[u] = 0; getDis(u, 0, u);
	for (int i = head[u]; i; i = e[i].nxt) 
	{
		int v = e[i].to;
		if (vis[v]) continue;
		dis[v] = dis[u] + e[i].val;
		getDis (v, u, v);
	}
	sort (CanGet + 1, CanGet + 1 + cnt, cmp);
	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
		int l = 1, r = cnt;
		if (num[i]) continue;
		while (l < r)
		{
			if (dis[CanGet[l]] + dis[CanGet[r]] > Query[i]) {r--;} 
			else 
			{
				if (dis[CanGet[l]] + dis[CanGet[r]] < Query[i]) {l++;} 
				else
				{
					if (FaTree[CanGet[l]] == FaTree[CanGet[r]]) 
					{
						if (dis[CanGet[r]] == dis[CanGet[r - 1]]) r--;
						else l++;
					}else
					{
						num[i] = 1; break;
					}
				}
			} 
		}
	}
} 


void calc (int u)
{
	vis[u] = 1;	solve(u);
	for (int i = head[u]; i; i = e[i].nxt)
	{
		int v = e[i].to;
		if (vis[v]) continue;
		solve (v);
		
		//Figure 1:
		sum = sz[v], son[0] = n, rt = 0;
		getRoot(v, u), calc(rt);
	}
}

int main()
{
	scanf ("%d%d", &n, &m);
	for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		int u, v, w;
		scanf ("%d%d%d", &u, &v, &w);
		Add(u, v, w), Add(v, u, w);
	}
	for (int i = 1; i <= m; i ++) scanf ("%lld", &Query[i]);
	calc (1);
	for (int i = 1; i <= m; i++)
		if (num[i]) puts("AYE");
		else puts("NAY");
    return 0;
}