【bzoj2476】战场的数目 矩阵乘法优化dp

题目描述

（战场定义为对于最高的一列向两边都严格不增的“用积木搭成”的图形）

输入

输入文件最多包含25组测试数据，每个数据仅包含一行，有一个整数p（1<=p<=10⁹），表示战场的图形周长。p=0表示输入结束，你的程序不应当处理这一行。

输出

对于每组数据，输出仅一行，即满足条件的战场总数除以987654321的余数。

样例输入

7
8
9
10
0

样例输出

0
2
0
9

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题解

矩乘优化dp的一道神题。

显然答案=总数-矩形个数。

设$f[i]$表示周长为$2i$的方案数。

那么如果左右都没有高度为1的，那么可以删掉最下边一行，为$f[i-1]$。

如果左边或右边有高度为1的，那么可以删掉这一个，为$f[i-1](*2)$。

而如果左右都有高度为1的，那么可以删掉这两个，为$f[i-2]$，这种情况会重复计算，应该减去。

最后的状态转移方程即为$f[i]=3f[i-1]-f[i-2]$，使用矩乘加速转移即可。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = 987654321;
struct data
{
	ll v[2][2];
	data() {memset(v , 0 , sizeof(v));}
	data(int x) {memset(v , 0 , sizeof(v)) , v[0][0] = v[1][1] = 1;}
	data operator*(const data a)const
	{
		data ans;
		int i , j , k;
		for(i = 0 ; i < 2 ; i ++ )
			for(j = 0 ; j < 2 ; j ++ )
				for(k = 0 ; k < 2 ; k ++ )
					ans.v[i][j] = (ans.v[i][j] + v[i][k] * a.v[k][j]) % mod;
		return ans;
	}
	data operator^(const ll a)const
	{
		data x = *this , ans(1);
		ll y = a;
		while(y)
		{
			if(y & 1) ans = ans * x;
			x = x * x , y >>= 1;
		}
		return ans;
	}
}A , B;
int main()
{
	A.v[0][0] = A.v[0][1] = 1;
	B.v[0][1] = mod - 1 , B.v[1][0] = 1 , B.v[1][1] = 3;
	ll p;
	while(~scanf("%lld" , &p) && p)
	{
		if(p & 1 || p == 2) printf("0
");
		else printf("%lld
" , ((A * (B ^ (p / 2 - 1))).v[0][0] - p / 2 + 1 + mod) % mod);
	}
	return 0;
}