题目描述
热情好客的请森林中的朋友们吃饭，他的朋友被编号为 1～N，每个到来的朋友都会带给他一些礼物：。其中，第一个朋友会带给他 1 个，之后，每一个朋友到来以后，都会带给他之前所有人带来的礼物个数再加他的编号的 K 次方那么多个。所以，假设 K=2，前几位朋友带来的礼物个数分别是：1,5,15,37,83假设 K=3，前几位朋友带来的礼物个数分别是：1,9,37,111现在，好奇自己到底能收到第 N 个朋友多少礼物，因此拜托于你了。已知 N,K请输出第 N 个朋友送的礼物个数 mod1000000007。
输入
第一行，两个整数 N,K
N≤10^18,K≤10
输出
一个整数，表示第 N 个朋友送的礼物个数 mod1000000007。
样例输入
4 2
样例输出
37
题解
矩阵乘法
设前$i$项的和为$S_i$，那么根据定义有$a_n=S_{n-1}+n^k$，故有$S_n=S_{n-1}+a_n=2S_{n-1}+n^k$。
由于k不大，显然这个式子可以矩乘。
具体方法：维护矩阵$egin{bmatrix}S_{n-1}&n^k&n^{k-1}&...&n^1&n^0end{bmatrix}$，那么$S$的转移矩阵就是上面的式子，而$n^i$的转移矩阵就是二项式系数，即$(n+1)^i$的展开式。
于是矩阵乘法加速递推，最终的答案就是$S_n-S_{n-1}$。
时间复杂度$O(k^3log n)$
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define mod 1000000007
using namespace std;
typedef long long ll;
int d;
struct data
{
ll v[12][12];
ll* operator[](int a) {return v[a];}
data() {memset(v , 0 , sizeof(v));}
data operator*(data a)
{
data ans;
int i , j , k;
for(i = 0 ; i <= d + 1 ; i ++ )
for(j = 0 ; j <= d + 1 ; j ++ )
for(k = 0 ; k <= d + 1 ; k ++ )
ans[i][j] = (ans[i][j] + v[i][k] * a[k][j]) % mod;
return ans;
}
}A , P;
data pow(data x , ll y)
{
data ans;
int i;
for(i = 0 ; i <= d + 1 ; i ++ ) ans[i][i] = 1;
while(y)
{
if(y & 1) ans = ans * x;
x = x * x , y >>= 1;
}
return ans;
}
int main()
{
ll n;
int i , j;
scanf("%lld%d" , &n , &d);
for(i = 1 ; i <= d + 1 ; i ++ ) A[0][i] = 1;
P[0][0] = 2 , P[1][0] = 1;
for(i = d + 1 ; i ; i -- )
{
P[d + 1][i] = 1;
for(j = d ; j >= i ; j -- ) P[j][i] = P[j + 1][i + 1] + P[j][i + 1];
}
A = A * pow(P , n - 1);
printf("%lld
" , ((A * P)[0][0] - A[0][0] + mod) % mod);
return 0;
}