题目描述
有一张n×m的数表，其第i行第j列（1 <= i <= n ，1 <= j <= m）的数值为能同时整除i和j的所有自然数之和。给定a，计算数表中不大于a的数之和。
输入
输入包含多组数据。
输入的第一行一个整数Q表示测试点内的数据组数，接下来Q行，每行三个整数n，m，a(|a| < =10^9)描述一组数据。
输出
对每组数据，输出一行一个整数，表示答案模2^31的值。
样例输入
2
4 4 3
10 10 5
样例输出
20
148
题解
莫比乌斯反演+离线+树状数组
设 $f(n)$ 表示 $n$ 的约数和，当约数和大于 $a$ 时将其视作0。
那么我们要求的就是 $sumlimits_{i=1}^nsumlimits_{j=1}^mf(gcd(i,j))$
于是有以下公式推导（为了方便，以下默认 $nle m$）：
$ sumlimits_{i=1}^nsumlimits_{j=1}^mf(gcd(i,j))\=sumlimits_{d=1}^nf(d)sumlimits_{i=1}^nsumlimits_{j=1}^m[gcd(i,j)=d]\=sumlimits_{d=1}^nf(d)sumlimits_{i=1}^{lfloorfrac nd floor}sumlimits_{j=1}^{lfloorfrac md floor}[gcd(i,j)=1]\=sumlimits_{d=1}^nf(d)sumlimits_{i=1}^{lfloorfrac nd floor}sumlimits_{j=1}^{lfloorfrac md floor}sumlimits_{p|i&p|j}mu(p)\=sumlimits_{d=1}^nf(d)sumlimits_{p=1}^{lfloorfrac nd floor}mu(p)lfloorfrac n{dp} floorlfloorfrac m{dp} floor$
然后再设 $D=dp$ 则有：
$ sumlimits_{d=1}^nf(d)sumlimits_{p=1}^{lfloorfrac nd floor}mu(p)lfloorfrac n{dp} floorlfloorfrac m{dp} floor\=sumlimits_{D=1}^nlfloorfrac nD floorlfloorfrac mD floorsumlimits_{d|D}f(d)mu(frac Dd)$
此时如果所有的询问的 $a$ 都相同，这道题就做完了。预处理出 $f(n)$ 和 $mu(n)$ ，并用 $O(nln n)$ 的时间内算出所有的 $sumlimits_{d|n}f(d)mu(frac nd)$ ，求出其前缀和。然后对每个询问枚举商，分块处理即可。
那么如果 $a$ 不同呢？考虑离线，把所有询问按照 $a$ 从小到大排序，把所有数按照 $f$ 值从小到大排序，对于每一次 $a$ 的改变，在所有数中移动指针 $p$。那么每次指针 $p$ 移动就相当于是把 $f(p)$ 的贡献都算上。由于每个数只被扫到一次，因此只需要修改 $nln n$ 个 $sumlimits_{d|n}f(d)mu(frac nd)$ 。
而我们需要动态维护前缀和，需要支持修改，因此使用树状数组来维护即可。
模 $2^{30}$ 的话可以先unsigned int自然溢出（相当于模$2^{31}$），最后答案再对 $2^{30}-1$取与。
时间复杂度 $O(nlog^2n+Qsqrt nlog n)$
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define N 100010
#define n 100000
using namespace std;
typedef unsigned int ui;
struct data
{
ui p , q , v , pos;
bool operator<(const data &a)const {return v < a.v;}
}a[N];
ui mu[N] , prime[N] , tot , np[N] , s[N] , id[N] , f[N] , ans[N];
bool cmp(ui a , ui b)
{
return s[a] < s[b];
}
inline void add(ui x , ui a)
{
ui i;
for(i = x ; i <= n ; i += i & -i) f[i] += a;
}
inline ui query(ui x)
{
ui i , ans = 0;
for(i = x ; i ; i -= i & -i) ans += f[i];
return ans;
}
int main()
{
ui m , i , j , last , p = 1;
int x;
mu[1] = 1;
for(i = 2 ; i <= n ; i ++ )
{
if(!np[i]) mu[i] = -1 , prime[++tot] = i;
for(j = 1 ; j <= tot && i * prime[j] <= n ; j ++ )
{
np[i * prime[j]] = 1;
if(!(i % prime[j]))
{
mu[i * prime[j]] = 0;
break;
}
else mu[i * prime[j]] = -mu[i];
}
}
for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
{
id[i] = i;
for(j = i ; j <= n ; j += i)
s[j] += i;
}
sort(id + 1 , id + n + 1 , cmp);
scanf("%u" , &m);
for(i = 1 ; i <= m ; i ++ )
{
scanf("%u%u%u" , &a[i].p , &a[i].q , &x) , a[i].pos = i;
if(x > 0) a[i].v = x;
else a[i].v = 0;
}
sort(a + 1 , a + m + 1);
for(i = 1 ; i <= m ; i ++ )
{
while(p <= n && s[id[p]] <= a[i].v)
{
for(j = 1 ; j * id[p] <= n ; j ++ )
add(j * id[p] , mu[j] * s[id[p]]);
p ++ ;
}
for(j = 1 ; j <= a[i].p && j <= a[i].q ; j = last + 1)
last = min(a[i].p / (a[i].p / j) , a[i].q / (a[i].q / j)) , ans[a[i].pos] += (a[i].p / j) * (a[i].q / j) * (query(last) - query(j - 1));
}
for(i = 1 ; i <= m ; i ++ ) printf("%u
" , ans[i] & 0x7fffffff);
return 0;
}