[算法模板]莫比乌斯反演

莫比乌斯反演

先安利一下隔壁lsj大佬的博客：lsj-莫比乌斯反演-让我们从基础开始

在lsj大佬的博客里有一个比较重要的公式证明：

(d(ij)=displaystylesum_{xmid i}sum_{ymid j}[gcd(x,y)=1])

莫比乌斯函数

[mu(u)=left{egin{split} &1& ext{若}n=1\ &(-1)^k& ext{若}n ext{无平方因子数，且}n=p_1p_2cdots p_k\ &0& ext{若}n ext{有大于1的平方因数} end{split} ight. ]

(mu)函数性质：(displaystylesum _{dmid n} mu(d)=[n=1])

(phi)函数性质：(displaystylesum _{dmid n}phi (d)=n)

显然：

(displaystylesum _{dmid gcd(i,j) } mu(d)=[gcd(i,j)=1])

(displaystylesum _{dmid gcd(i,j)}phi (d)=gcd(i,j))

筛法

莫比乌斯函数可以用线性筛筛出

代码引自litble-初涉莫比乌斯反演（附带例题）

void init(){
    miu[1]=1;
    for(int i=2;i<=100000;i++){
        if(!is[i]){pri[++tot]=i;miu[i]=-1;}
        for(int j=1;j<=tot;j++){
            int k=pri[j]*i;if(k>100000)break;
            is[k]=1;
            if(i%pri[j]==0){miu[k]=0;break;}
            else miu[k]=-miu[i];
        }
    }
}