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  • [算法模版]同余最短路

    [算法模版]同余最短路

    算法描述

    当我们解决形如(sum_{i=1}^n a_ix_i=k)的时候,我们可以使用同余最短路来解决。

    我们选择一个最小的(a_i)作为base,然后把其他的(a)表示成(base*p+left)的形式。

    我们定义(f[i])代表凑出(mod base)(i)的数最小需要多少个(base)

    而一个数(p)能被凑出当且仅当(f[pmod base]leq frac {p}{base})

    for(int i=0;i<base;i++){
        add(i,(i+a1)%base,a1);//从i
        add(i,(i+a2)%base,a2);
    }
    

    一些疑问

    f[i]不会炸ll吗?

    我们把(mod base)的剩余系考虑成一个环,那么(f[i])代表在换上转几次圈才能走到(i)这个点。每次走的步数可以在序列(a)中任意选择一个。

    我们会发现,要让所有(f[i])最小,那我们每次走都应该是从一个走过的点走到一个没有走到过的点。如果走了一段时间,发现不管从环上哪个点走,走多少步,都无法到达一个没到达过的点。这种情况下,没到达过的点就永远不能到达了。

    所以走的次数的上界就是最大的(a)

    因为如果把最大的(a)取为(base)(虽然这样复杂度不是最优的,但是我们可以这样来计算上界)。那么每走一圈都最少会新到达一个点。所以要取遍剩余系就最多需要走(a_{max})次。

    为什么要选最小的(a)作为模数?

    显然,这样可以保证点数最小(剩余系最小)。

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