luogu1762 偶数（数学 + 数位DP）

luogu1762
题目描述：给定一个整数n，求杨辉三角形前n项对1000003取模后的结果。

输入格式：一行一个整数n，表示行数

输入格式：一行一个整数，表示答案

输入样例：
6

输出样例：
6

解析：杨辉三角形第n行第m列的数为(C_{n-1}^{m-1})，要求前n行的偶数个数，就是求前n行的奇数个数，再用总数减去奇数的个数。
   那么怎么算奇数的个数呢？就是算(C_{n-1}^{m-1} mod 2 = 1)的个数。
   用lucas定理可知，这时(m-1)是(n-1)的子集，即(m-1)&(n-1) = m - 1
   可以发现，答案就是(sum_{i=0}^{n-1}2^{i的二进制下1的个数})
   这样，就可以直接数位DP，求出即可。

代码如下：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;

const ll MOD = 1000003;
ll n, pow[64], dp[64][64];
int bit[64], cnt;

ll dfs(int pos, int lead, int limit, int sum) { //数位DP 
	if (!pos) return pow[sum];
	if (~dp[pos][sum] && limit && lead) return dp[pos][sum];
	int len = limit ? 1 : bit[pos];
	ll ans = 0;
	for (int i = 0; i <= len; ++ i) {
	  if (!lead && i == 0) ans += dfs(pos - 1, lead, limit || i < len, sum);
	    else ans += dfs(pos - 1, lead || i > 0, limit || i < len, sum + (i == 1));
	  ans %= MOD;
	}
	if (limit && lead) dp[pos][sum] = ans;
	return ans;
}

ll solve(ll x) {
	while (x) {
	  bit[++ cnt] = x % 2;
	  x /= 2;
	}
	memset(dp, -1, sizeof(dp));
	return dfs(cnt, 0, 0, 0);
}

ll mul(ll x, ll y) { //由于n太大，直接乘会爆long long，所以要打快速乘 
	ll res = 0, base = x;
	if (x & 1ll) y >>= 1; else base >>= 1;
	  while (y) {
	  	if (y & 1) res = (res + base) % MOD;
	  	base = (base + base) % MOD;
	  	y >>= 1;
	  }
	return res;
}

int main() {
	scanf("%lld", &n); n --;
	pow[0] = 1;
	  for (int i = 1; i < 64; ++ i) pow[i] = pow[i - 1] * 2 % MOD;
	printf("%lld", (mul(n + 1, n + 2) - solve(n) + MOD) % MOD);
	return 0;
}