数论整除分块

数论-整除分块

这个蒟蒻太蒻了，希望这篇文章能成为自己恶补数论的开始。

参考资料

https://blog.csdn.net/beautiful_CXW/article/details/83143756

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\(\texttt{讲解证明}\)

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\(\texttt{代码实现}\)

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\(\texttt{经典例题}\)

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\(\texttt{讲解证明}\)

整除分块就是用来求像

\[\sum\limits_{i=1}^n\lfloor \frac{n}{i}\rfloor \]

这样的式子的。

很明显，直接求要 \(\Theta(n)\)，但是整除分块只需要 \(\Theta(\sqrt n)\)。

整除分块的第一步是发现不同的 \(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor\) 的数量。

如果 \(i\le\sqrt n\)：

很明显，因为 \(i\) 最多 \(\sqrt n\) 种，所以 \(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor\) 最多 \(\sqrt n\) 种。

如果 \(i>\sqrt n\)：

因为 \(\frac{n}{i}<\sqrt n\)，所以 \(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor\) 也不到 \(\sqrt n\) 种。

总结：不同的 \(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor\) 不到 \(2\sqrt n\) 种。

第二步是计算答案。因为 \(f(i)=\lfloor \frac{n}{i}\rfloor\) 的单调性，所以 \(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor\) 相同的 \(i\) 是相邻的。

显而易见的结论：对于 \(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor=d\)，\(i\in(\lfloor\frac{n}{d+1}\rfloor,\lfloor\frac{n}{d}\rfloor]\)。

比如 \(n=100,d=6\)。所以 \(i\in(14,16]\)

所以可以以 \(l=\lfloor\frac{n}{d+1}\rfloor+1,r=\lfloor\frac{n}{d}\rfloor\) 为循环变量，

\[l=\texttt{上一次的}r+1,r=\lfloor\frac{n}{\lfloor\frac{n}{l}\rfloor}\rfloor \]

。

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\(\texttt{代码实现}\)

讲解证明一定要仔细看，要不然代码是看不懂的。特短。必须要全局开 \(\texttt{long long}\)，这代码可是要过 \(n=10^{12}\) 的数据的！

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

//&Start
#define lng long long
#define lit long double
const int inf=0x3f3f3f3f;
const lng Inf=1e17;

//&Main
lng n,ans;
int main(){
	scanf("%lld",&n);
	for(lng l=1,r;l<=n;l=r+1)
		r=n/(n/l),ans+=(r-l+1)*(n/l);
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

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\(\texttt{经典例题}\)

[CQOI2007]余数求和
求 \(G(n,k)=\sum\limits_{i=1}^nk\bmod i\)。
数据范围：\(1\le n,k\le 10^9\)。

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推一下（这总得看得懂吧）：

\[\sum\limits_{i=1}^nk\bmod i=nk-\sum\limits_{i=1}^n i\times\lfloor\frac{k}{i}\rfloor \]

\[\sum\limits_{i=1}^n i\times\lfloor\frac{k}{i}\rfloor=\sum\limits_{l,r}^n\lfloor\frac{k}{l}\rfloor\times\frac{(l+r)(r-l+1)}{2} \]

（首项加末项乘项数除以 \(2\)）。

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注意了，有可能 \(k<n\)。所以

\[r= \begin{cases} \min(\lfloor\frac{k}{\lfloor\frac{k}{l}\rfloor}\rfloor,n)~~(\lfloor\frac{k}{l}\rfloor>0)\\ n~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(\lfloor\frac{k}{l}\rfloor=0) \end{cases} \]

。
code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

//&Start
#define lng long long
#define lit long double
const int inf=0x3f3f3f3f;
const lng Inf=1e17;

//&Main
lng n,k,ans;
int main(){
	scanf("%lld%lld",&n,&k),ans=n*k;
	for(lng l=1,r;l<=n;l=r+1)
		r=(k/l)?min(k/(k/l),n):n,ans-=(l+r)*(r-l+1)/2*(k/l);
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

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我还是太蒻了 ，祝大家学习愉快！