莫比乌斯反演学习笔记
参考资料
前置知识：
主要内容：
莫比乌斯函数 <讲>
莫比乌斯反演 <讲>
莫比乌斯例题 <讲>[HAOI2011]Problem b
LCMSUM
[国家集训队]Crash的数字表格
[SDOI2015]约数个数和
积性函数
定义：如果 \(\gcd(x,y)=1\) 并且 \(f(xy)=f(x)f(y)\)，则 \(f(n)\) 为积性函数。
性质：如果 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 均为积性函数，那么如下函数也是积性函数：
\[h(x)=f(x^p)
\]
\[h(x)=f^p(x)
\]
\[h(x)=f(x)g(x)
\]
\[h(x)=\sum\limits_{d\mid x}f(d)g(\frac xd)
\]
例子：
单位函数：\(\epsilon(x)=[x=1]\)。
常数函数：\(1(x)=1\)。
欧拉函数：\(\varphi(x)=\sum\limits_{i=1}^x[\gcd(x,i)=1]\)。
莫比乌斯函数也是，下文会讲。
狄利克雷（Dirichlet）卷积
定义：
两个数论函数 \(f\) 和 \(g\) 的狄利克雷卷积 \((f*g)\) 为
\[(f*g)(x)=\sum\limits_{d|x}f(d)g(\frac xd)
\]
性质：满足交换和结合律，\(\epsilon\) 是该函数单位元，每个函数卷它都得本身。
例子：
\[d(x)=(1*1)(x)=\sum\limits_{d|x}1
\]
\[\sigma(x)=(1*d)(x)=\sum\limits_{d|x}d
\]
\[\epsilon(x)=(\mu*1)(x)=\sum\limits_{d|x}\mu(d)
\]
\[\varphi(x)=(\mu*ID)(x)=\sum\limits_{d|x}d\cdot\mu(\frac xd)
\]
（这里的 \(\mu\) 就是过会儿的莫比乌斯函数）。
莫比乌斯函数
定义：莫比乌斯函数符号为 \(\mu\)，
\[\mu(x)=
\begin{cases}
1 & x=1\\
0 & \exists d\in\mathbb{Z}:d^2\mid x\\
(-1)^k & k 为 x 本质不同的的质因子个数\\
\end{cases}
\]
说明：如果有 \(x=\prod\limits_{i=1}^kp_i^{c_i}\)，那么
- 如果 \(x=1\)，那么 \(\mu(x)=1\)。
- 如果 \(\forall i:c_i=1\)，那么 \(\mu(x)=(-1)^k\)。
- 否则 \(\mu(x)=0\)。
性质：
- \(\mu*1=\epsilon\)，即 \(\sum\limits_{d\mid x}\mu(d)=\epsilon(x)\)，或
\[\sum\limits_{d\mid x}\mu(d)=
\begin{cases}
1 & x=1\\
0 & x\neq 1\\
\end{cases}
\]
-
\(\sum\limits_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}=\frac{\varphi(n)}{n}\)。
-
反演结论：\([\gcd(i,j)=1]=\epsilon(\gcd(i,j))=\sum\limits_{d|\gcd(i,j)}\mu(d)\)。
-
拓展：\(\varphi*1=ID\)，\(\sum\limits_{d|nm}=\sum\limits_{x|n}\sum\limits_{y|m}[\gcd(x,y)=1]\)。
线性筛求莫比乌斯函数：
void Mobius(int n){
mu[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!np[i]) p[++cnt]=i,mu[i]=-1;
for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;j++){
np[i*p[j]]=1;
if(i%p[j]==0){mu[i*p[j]]=0;break;}
mu[i*p[j]]=-mu[i];
}
}
}
莫比乌斯反演
如果有两个数量函数 \(f\) 和 \(g\)，满足
\[f(x)=\sum\limits_{d|x}g(d)
\]
那么就有
\[g(x)=\sum\limits_{d|x}f(d)\cdot\mu(\frac xd)
\]
证明：
即已知 \(f=g*1\)，证明 \(g=f*\mu\)。
证：\(f*\mu=g*1*\mu=g*\epsilon=g\)。
经典例题
[HAOI2011]Problem b
\(T\) 组测试数据，给定 \(a,b,c,d,k\) 求
\[\sum\limits_{i=a}^b\sum\limits_{j=c}^d[\gcd(i,j)=k] \]
数据范围：\(1\le T,a,b,c,d,k\le 5\times 10^4\)。
如果令
\[f(n,m)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m[\gcd(i,j)=k]
\]
容斥一下，则有题目中的式子 \(=f(b,d)+f(a-1,c-1)-f(a-1,d)-f(b,c-1)\)。
然后
\[\begin{split}
f(n,m)=&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m[\gcd(i,j)=k]\\
=&\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac nk\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac mk \rfloor}[\gcd(i,j)=1]\\
=&\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac nk\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac mk \rfloor}\epsilon(\gcd(i,j))\\
=&\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac nk\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac mk \rfloor}\sum\limits_{d\mid \gcd(i,j)}\mu(d)\\
=&\sum\limits_{d=1}^{\min\{n,m\}}\mu(d)\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac nk\rfloor}[d\mid i]\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac mk \rfloor}[d\mid j]\\
=&\sum\limits_{d=1}^{\min\{n,m\}}\mu(d)\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac n{kd}\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac m{kd} \rfloor}\\
=&\sum\limits_{d=1}^{\min\{n,m\}}\mu(d)\lfloor \frac n{kd}\rfloor\lfloor \frac m{kd} \rfloor\\
\end{split}
\]
然后用莫比乌斯函数前缀和 \(+\) 整除分块计算即可，时间复杂度 \(\Theta(N+T\sqrt n)\)。
Code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
//&Start
#define lng long long
#define lit long double
#define kk(i,n) "\n "[i<n]
const int inf=0x3f3f3f3f;
const lng Inf=1e17;
//&Mobius
const int N=5e4;
bitset<N+10> np;
int mu[N+10],cnt,p[N+10];
void Mobius(){
mu[1]=1;
for(int i=2;i<=N;i++){
if(!np[i]) p[++cnt]=i,mu[i]=-1;
for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=N;j++){
np[i*p[j]]=1;
if(i%p[j]==0){mu[i*p[j]]=0;break;}
mu[i*p[j]]=-mu[i];
}
}
for(int i=1;i<=N;i++) mu[i]+=mu[i-1];
}
//&Fenk
int Fenk(int n,int m){
int res=0,mn=min(n,m);
for(int l=1,r;l<=mn;l=r+1){
r=min(n/(n/l),m/(m/l));
res+=(mu[r]-mu[l-1])*(n/l)*(m/l);
}
return res;
}
//&Data
int t,a,b,c,d,k;
//&Main
int main(){
Mobius();
scanf("%d",&t);
for(int ti=1;ti<=t;ti++){
scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);
printf("%d\n",
+Fenk(b/k,d/k)
+Fenk((a-1)/k,(c-1)/k)
-Fenk((a-1)/k,d/k)
-Fenk(b/k,(c-1)/k)
);
}
return 0;
}
LCMSUM
\(T\) 组数据，给定 \(n\)，求 $$\sum\limits_{i=1}^n\operatorname{lcm}(i,n)$$
数据范围：\(1\le T\le 3\times 10^5\)，\(1\le n\le 10^6\)。
\[\begin{split}
g(n)=&\sum\limits_{i=1}^n\operatorname{lcm}(i,n)\\
=&\sum\limits_{i=1}^n\frac{in}{\gcd(i,n)}\\
=&\sum\limits_{d|n}\sum\limits_{i=1}^n[\gcd(i,n)=d]\frac id n\\
=&\sum\limits_{d|n}\sum\limits_{i=1}^{\frac nd}[\gcd(i,\frac nd)=1]in\\
=&n\sum\limits_{d|n}\sum\limits_{i=1}^{\frac nd}[\gcd(i,\frac nd)=1]i\\
\end{split}
\]
令
\[f(n)=\sum\limits_{i=1}^n[\gcd(n,i)=1]i
\]
\[\because \gcd(n,i)=\gcd(n,n-i)
\]
\[\therefore [\gcd(n,i)=1]=[\gcd(n,n-i)=1]
\]
\[[\gcd(n,i)=1]i+[\gcd(n,n-i)](n-i)=n[\gcd(n,i)=1]
\]
\[\therefore f(n)=\sum\limits_{i=1}^n[\gcd(n,i)=1]i=\frac {\varphi(n)n}{2}
\]
\[\begin{split}
\therefore g(n)=&n\sum\limits_{d|n}f(\frac nd)\\
=&n\sum\limits_{d|n}\frac {\varphi(\frac nd)\frac nd}{2}\\
=&n\sum\limits_{d|n}\frac {\varphi(d)d}{2}\\
\end{split}
\]
然后码的时候，维护一个前缀和
\[sum(n)=\sum\limits_{d|n}\frac {\varphi(d)d}{2}
\]
即可，然后总时间复杂度就是 \(\Theta(n\log\log n+T)\)。
Code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
//&Start
#define lng long long
#define lit long double
#define kk(i,n) "\n "[i<n]
const int inf=0x3f3f3f3f;
const lng Inf=1e17;
//&Eular
const int N=1e6;
bitset<N+10> np;
int phi[N+10],cnt,p[N+10];
lng f[N+10];
void Eular(){
for(int i=2;i<=N;i++){
if(!np[i]) p[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=N;j++){
np[i*p[j]]=1;
if(i%p[j]==0){phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];break;}
else phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);
}
}
f[1]=1;
for(int i=2;i<=N;i++) f[i]=1ll*phi[i]*i/2;
for(int j=1;j<=cnt;j++)
for(int i=1;i*p[j]<=N;i++)
f[i*p[j]]+=f[i]; //用f数组自得sum
}
//&Data
int t,n;
//&Main
int main(){
Eular();
scanf("%d",&t);
for(int ti=1;ti<=t;ti++){
scanf("%d",&n);
printf("%lld\n",f[n]*n);
}
return 0;
}
[国家集训队]Crash的数字表格
单组测试数据，给定 \(n,m\) ，求
\[\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\operatorname{lcm}(i,j)\bmod 20101009 \]
数据范围：\(1\le n,m\le 10^7\)。
\(n\le m\)，一气呵成：
\[\begin{split}
g(n,m)=&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\operatorname{lcm}(i,j)\\
=&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\frac{ij}{\gcd(i,j)}\\
=&\sum\limits_{d=1}^n\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\frac{ij}{d}[\gcd(i,j)=d]\\
=&\sum\limits_{d=1}^n\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor\frac md\rfloor}ijd[\gcd(i,j)=1]\\
=&\sum\limits_{d=1}^n d\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}i\sum\limits_{j=1}^{\lfloor\frac md\rfloor}j\sum\limits_{k|\gcd(i,j)}\mu(k)\\
=&\sum\limits_{d=1}^n d\sum\limits_{k=1}^n\mu(k)\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}i[k|i]\sum\limits_{j=1}^{\lfloor\frac md\rfloor}j[k|j]\\
=&\sum\limits_{d=1}^n d\sum\limits_{k=1}^n\mu(k)\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac {n}{dk}\rfloor}ik\sum\limits_{j=1}^{\lfloor\frac {m}{dk}\rfloor}jk\\
=&\sum\limits_{d=1}^n d\sum\limits_{k=1}^nk^2\mu(k)\frac{\lfloor\frac{n}{dk}\rfloor(\lfloor\frac{n}{dk}\rfloor+1)}{2}\cdot\frac{\lfloor\frac{m}{dk}\rfloor(\lfloor\frac{m}{dk}\rfloor+1)}{2}\\
\end{split}
\]
将 \(x=dk\) 带入：
\[g(n,m)=\sum\limits_{x=1}^nx\cdot\frac{\lfloor\frac{n}{x}\rfloor(\lfloor\frac{n}{x}\rfloor+1)}{2}\cdot\frac{\lfloor\frac{m}{x}\rfloor(\lfloor\frac{m}{x}\rfloor+1)}{2}\sum\limits_{k|x}k\mu(k)
\]
然后筛 \(\mu(k)\) 时顺便计算 \(h(k)=k\mu(k)\)，最后狄利克雷前缀和求 \(f(k)=\sum\limits_{k|x}k\mu(k)\)。
别忘了膜拜 \(20101009\)，时间复杂度 \(\Theta(N+n)\)。
Code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
//&Start
#define lng long long
#define lit long double
#define kk(i,n) "\n "[i<n]
const int inf=0x3f3f3f3f;
const lng Inf=1e17;
//&Mobius
const int N=1e7;
const int mod=20101009;
bitset<N+10> np;
int mu[N+10],cnt,p[N+10],f[N+10];
void Mobius(){
f[1]=mu[1]=1;
for(int i=2;i<=N;i++){
if(!np[i]) p[++cnt]=i,mu[i]=-1;
f[i]=(mu[i]*i+mod)%mod;
for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=N;j++){
np[i*p[j]]=1;
if(i%p[j]==0){mu[i*p[j]]=0;break;}
mu[i*p[j]]=-mu[i];
}
}
for(int j=1;j<=cnt;j++)
for(int i=1;i*p[j]<=N;i++)
(f[i*p[j]]+=f[i])%=mod; //狄利克雷前缀和
}
//&Data
int n,m,ans;
int bitfun(int x){
lng res=1ll*x*f[x]%mod;
(res*=1ll*(n/x+1)*(n/x)/2%mod)%=mod;
(res*=1ll*(m/x+1)*(m/x)/2%mod)%=mod; //如上
//这个1ll不乘要爆long long，30分。
return (int)res;
}
//&Main
int main(){
Mobius();
scanf("%d%d",&n,&m);
if(n>m) swap(n,m);
for(int i=1;i<=n;i++)
(ans+=bitfun(i))%=mod;
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
[SDOI2015]约数个数和
\(T\) 组测试数据，给定 \(n,m\)，求
\[\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^md(ij) \]其中 \(d(x)=\sum\limits_{k|x}\)。
数据范围：\(1\le n,m,T\le 5\times 10^4\)。
\(n\le m\)：
\[\begin{split}
g(n,m)=&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^md(ij)\\
=&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\sum\limits_{x|i}\sum\limits_{y|j}[\gcd(x,y)=1]\\
=&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\sum\limits_{x|i}\sum\limits_{y|j}\sum\limits_{k|\gcd(x,y)}\mu(k)\\
=&\sum\limits_{x=1}^n\sum\limits_{y=1}^m\sum\limits_{i=1}^n[x|i]\sum\limits_{j=1}^m[y|j]\sum\limits_{k|\gcd(x,y)}\mu(k)\\
=&\sum\limits_{x=1}^n\sum\limits_{y=1}^m\lfloor\frac{n}{x}\rfloor\lfloor\frac{m}{y}\rfloor\sum\limits_{k|\gcd(x,y)}\mu(k)\\
=&\sum\limits_{k=1}^n\mu(k)\sum\limits_{x=1}^n[k|x]\sum\limits_{y=1}^m[k|y]\lfloor\frac{n}{x}\rfloor\lfloor\frac{m}{y}\rfloor\\
=&\sum\limits_{k=1}^n\mu(k)\sum\limits_{x=1}^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor}\sum\limits_{y=1}^{\lfloor\frac{m}{k}\rfloor}\lfloor\frac{n}{kx}\rfloor\lfloor\frac{m}{ky}\rfloor\\
=&\sum\limits_{k=1}^n\mu(k)\sum\limits_{x=1}^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor}\sum\limits_{y=1}^{\lfloor\frac{m}{k}\rfloor}\lfloor\frac{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor}{x}\rfloor\lfloor\frac{\lfloor\frac{m}{k}\rfloor}{y}\rfloor\\
\end{split}
\]
设整除分块函数 \(\operatorname{fenk}(n)=\sum\limits_{i=1}^n\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\)。
所以上式
\[\begin{split}
=&\sum\limits_{k=1}^n\mu(k)\operatorname{fenk}(\lfloor\frac{n}{k}\rfloor)\operatorname{fenk}(\lfloor\frac{m}{k}\rfloor)\\
\end{split}
\]
然后分块套分块，加个莫比乌斯前缀和，即可。
Code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
//&Start
#define lng long long
#define lit long double
#define kk(i,n) "\n "[i<n]
const int inf=0x3f3f3f3f;
const lng Inf=1e17;
//&Mobius
const int N=5e4;
bitset<N+10> np;
int p[N+10],cnt,mu[N+10];
void Mobius(){
mu[1]=1;
for(int i=2;i<=N;i++){
if(!np[i]) p[++cnt]=i,mu[i]=-1;
for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=N;j++){
np[i*p[j]]=1;
if(i%p[j]==0){mu[i*p[j]]=0;break;}
mu[i*p[j]]=-mu[i];
}
}
for(int i=2;i<=N;i++) mu[i]+=mu[i-1];//莫比乌斯前缀和
}
//&Fenk
lng fk[N+10];
lng Fenk(int n){//fenk函数
lng res=0;
for(int l=1,r;l<=n;l=r+1)
r=n/(n/l),res+=1ll*(r-l+1)*(n/l);
return res;
}
//&Data
int t,n,m;
//&Main
int main(){
Mobius();
for(int i=1;i<=N;i++)
fk[i]=Fenk(i);
scanf("%d",&t);
for(int ti=1;ti<=t;ti++){
scanf("%d%d",&n,&m);
if(n>m) n^=m^=n^=m;
lng ans=0;
for(int l=1,r;l<=n;l=r+1){//外层大分块
r=min(n/(n/l),m/(m/l));
ans+=fk[n/l]*fk[m/l]*(mu[r]-mu[l-1]);
}
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
如果有感悟或经验，后期会更新，感谢支持。
祝大家学习愉快！