题解-Happy New Year

题解-Happy New Year

Happy New Year

给定 (n)，(m) 和 (k)。有一个序列 (a{m}) 初始值为 (0)。有 (n) 种操作，每种可以使 ([L_i,R_i]) 区间序列值 (+1)。每个操作最多用 (1) 次（可以不用）。保证对于每个 (i(1le ile n)) 最多存在 (k) 个不同的 (j) 满足 (iin[L_j,R_j])。求最后的序列中奇数最多个数。

数据范围：(1le nle 10^5)，(1le mle 10^9)，(1le kle 8)。

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状压 ( exttt{dp}) 水题，连我这个小蒟蒻都几下就做出来了。

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从数据范围和时间复杂度入手分析题目：

1. 首先看到 (n) 的大小，就知道复杂度中要带个 (n)。
2. 时间复杂度中不能带 (m)，而且这题也不能二分倍增分治之类的，所以也不带 (log m)。
3. 时间复杂度可以带 (k)，甚至还可以带个 (2^k)。考虑到这个 (k) 真是小到离奇，于是想着带 (2^k)——写个状压 ( exttt{dp})。

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将每个区间 (i) 的 (L_i) 和 (R_i+1) 带信息放进数组 (p) 中，按如下的 ( exttt{cmp}) 排序：

struct point{
	int op,w,d; //如果是L_i，op=1，w=L_i；如果是R_i，op=-1，w=R_i+1。d=i
	point(int OP=0,int W=0,int D=0){op=OP,w=W,d=D;}
};
int cmp(point x,point y){
	if(x.w==y.w) return x.op<y.op; //※先处理R_i，防止中途当前覆盖区间数 >k
	return x.w<y.w; //按大小排序
}

从左到右枚举每个端点，将当前覆盖着的区间放进数组 (d)。

令 (f_{i,j}) 表示到第 (i) 个端点，选择的区间覆盖状态为 (j) 的最大答案。

(j) 中二进制下如果第 (at-1) 位是 (1)，则表示选择了区间 (d_{at}) 并且 (d_{at}) 正覆盖在当前端点上。

如果 (at) 表示该端点在数组 (d) 中的位置，那么相邻两个端点之间可以如下递推：

[egin{split} & extbf{if} [p_i. op=1]:\ &qquad extbf{if} [atin j]:f_{i,j}=max{f_{i,j},f_{i-1,j}+[|j|in mathbb{odd}](p_i. w-p_{i-1}. w)}\ &qquad extbf{if} [at otin j]:f_{i,jcup{at}}=max{f_{i,jcup{at}},f_{i-1,j}+[|j|in mathbb{odd}](p_i.w-1-p_{i-1}.w)+[(|j|+1)in mathbb{odd}]}\ & extbf{if} [p_i. op=-1]:\ &qquad extbf{if} [at otin j]:\ &qquad qquad f_{i,j}=max{f_{i,j},f_{i-1,j}+[|j|in mathbb{odd}](p_i.w-p_{i-1}.w)}\ &qquad qquad f_{i,j}=max{f_{i,j},f_{i-1,jcup at}+[(|j|+1)in mathbb{odd}](p_i.w-1-p_{i-1}.w)}+[|j|inmathbb{odd}]}\ end{split} ]

最后的答案就是 (f_{2n,varnothing})。

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小蒟蒻怕自己讲不清楚，于是做了个动画：

Input

3 10 2
2 5
5 7
8 9

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时间复杂度 (Theta(n2^k))，空间复杂度 (Theta(n2^k))。

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Code

蒟蒻的做法比较玄学，但是又很简单，所以放个代码走人吧。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

//Start
#define lng long long
#define db double
#define mk make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define rz resize
const int inf=0x3f3f3f3f;
const lng INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

//Data
const int N=1e5,K=8;
int n,m,k;
int l[N+7],r[N+7];
struct point{
	int op,w,d;
	point(int OP=0,int W=0,int D=0){op=OP,w=W,d=D;}
};
int cmp(point x,point y){
	if(x.w==y.w) return x.op<y.op;
	return x.w<y.w;
}
int pcnt;
point p[(N<<1)+7];

//DP
int d[K+7],one[(1<<K)+7];
int f[(N<<1)+7][(1<<K)+7];
void Max(int&x,int y){x=max(x,y);}
int DP(){
	int ful=(1<<k)-1;
	for(int i=1;i<=ful;i++) one[i]=one[i-(i&-i)]+1;
	for(int i=0;i<=pcnt;i++)
		for(int j=0;j<=ful;j++) f[i][j]=-inf;
	f[0][0]=0;
	for(int j=1;j<=k;j++) d[j]=-1;
	int now=0;
	for(int i=1;i<=pcnt;i++){
		int at=-1;
		if(p[i].op==1){
			for(int j=1;j<=k;j++)
				if(d[j]==-1){at=j,d[j]=p[i].d;break;}
			assert(~at);
			for(int j=0;j<=now;j++)if((j&now)==j){
				Max(f[i][j],f[i-1][j]+(one[j]&1)*(p[i].w-p[i-1].w));
				Max(f[i][j|(1<<(at-1))],f[i-1][j]+(one[j]&1)*(p[i].w-1-p[i-1].w)+((one[j]+1)&1));
			}
			now|=(1<<(at-1));
		} else {
			for(int j=1;j<=k;j++)
				if(d[j]==p[i].d){at=j,d[j]=-1;break;}
			assert(~at);
			now^=(1<<(at-1));
			for(int j=0;j<=now;j++)if((j&now)==j){
				Max(f[i][j],f[i-1][j]+(one[j]&1)*(p[i].w-p[i-1].w));
				Max(f[i][j],f[i-1][j|(1<<(at-1))]+((one[j]+1)&1)*(p[i].w-1-p[i-1].w)+(one[j]&1));
			}
		}
	}
	return f[pcnt][0];
}

//Main
int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d%d",&l[i],&r[i]);
		p[++pcnt]=point(1,l[i],i);
		p[++pcnt]=point(-1,r[i]+1,i);
	}
	sort(p+1,p+pcnt+1,cmp);
	printf("%d
",DP());
	return 0;
}

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祝大家学习愉快！