题解-CF101D Castle

题面

CF101D Castle

给一棵 (n) 个节点的带权树，求一种遍历方案，从 (1) 出发，每条边走两次，走过所有点，第一次经过每个节点的平均时间最小。输出这个平均时间。

数据范围：(2le nle 10^5)。

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题解

可以对于每棵子树单独计算。

虽然子树内走的顺序是不固定的，但是要消耗的总时间是固定的。

设 (f_u) 表示 (u) 这棵子树内的第一次经过每个节点的 时间和，(w_{u,v}) 是 (u,v) 两点间的边权，(sz_u) 是 (u) 的子树大小，(szt_u) 是走遍 (u) 这棵子树的所需时间。

由于每棵子树遍历一次而且有顺序，记 (v_i) 为 (u) 第 (i) 个遍历的子树。

[f_u=sum_{i} [f_{v_i}+sz_{v_i}w_{u,v_i}+(szt_{v_i}+2w_{u,v})sum_{j>i} sz_{v_j}] ]

(sum_{i} (f_{v_i}+sz_{v_i}w_{u,v_i})) 是顺序不同时固定的，(sum_{i} (szt_{v_i}+2w_{u,v})sum_{j>i} sz_{v_j}) 是会变的，所以这题的难点在于找到它的最小值。

蒟蒻想了好久，这个式子很眼熟，但是怎么化都貌似不能贪心，于是请教了旁边的保队长。

很明显，如果对于 (ige 3)，(v_i) 都已经确定，那么 (p) 和 (q) 分别作为 (v_1,v_2) 的贡献是

[v_1=p,v_2=q:(szt_p+2w_{u,p})(sz_{q}+sum_{jge 3} sz_{v_j})+(szt_p+2w_{u,p})sum_{jge 3}sz_{v_j}+cdots ]

[v_1=q,v_2=p:(szt_q+2w_{u,q})(sz_{p}+sum_{jge 3} sz_{v_j})+(szt_q+2w_{u,q})sum_{jge 3}sz_{v_j}+cdots ]

其实差别就在于 ((szt_p+2w_{u,p})sz_{q}) 和 ((szt_q+2w_{u,q})sz_{p})，而且手玩一下可以发现，对于任意两个 (v) 顺序都是类似的。

所以把所有 (vin son_u) 丢进一个 vector，然后对于 (p)，(q)，按上面的差别排序即可。

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代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

//Start
typedef long long ll;
typedef double db;
#define mp(a,b) make_pair((a),(b))
#define x first
#define y second
#define bg begin()
#define ed end()
#define sz(a) int((a).size())
#define pb(a) push_back(a)
#define R(i,a,b) for(int i=(a),i##E=(b);i<i##E;i++)
#define L(i,a,b) for(int i=(b)-1,i##E=(a)-1;i>i##E;i--)
const int iinf=0x3f3f3f3f;
const ll linf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

//Data
const int N=1e5;
int n;

//Tree
vector<int> e[N],to,we;
void adde(int u,int v,int w){
    e[u].pb(sz(to)),to.pb(v),we.pb(w);
    e[v].pb(sz(to)),to.pb(u),we.pb(w);
}
int sz[N],szt[N];
ll dfs(int u,int fa){
    ll res=0; sz[u]=1,szt[u]=0;
    vector<int> cho;
    for(int v:e[u])if(to[v]^fa){
        res+=dfs(to[v],u);
        res+=1ll*we[v]*sz[to[v]];
        szt[to[v]]+=we[v]*2;
        sz[u]+=sz[to[v]],szt[u]+=szt[to[v]];
        cho.pb(to[v]);
    }
    sort(cho.bg,cho.ed,[&](int p,int q){
        return 1ll*szt[p]*sz[q]<1ll*szt[q]*sz[p];
    });
    int tot=sz[u]-1;
    for(int v:cho) tot-=sz[v],res+=1ll*szt[v]*tot;
    return res;
}

//Main
int main(){
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cout.precision(12);
    cin>>n;
    R(i,1,n){int u,v,w; cin>>u>>v>>w,--u,--v,adde(u,v,w);}
    // cout<<dfs(0,-1)<<'
';
    cout<<fixed<<1.*dfs(0,-1)/(n-1)<<'
';
    return 0;
}

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祝大家学习愉快！