费马小定理（新方法）

费马小定理

内容：当p为质数，且gcd(a, p)=1,那么$ a^{p-1}equiv 1 (mod p ) $

证明：
构造出素数p的既约剩余系（最小公约数为1）

(P=) { (1,2,3, ··· ,p-1) }

因为(a, p)=1，所以A也是一个既约剩余系

$ A=$ { (a, 2a, 3a, ··· ,(p-1)a) }

因为A在mod p意义下把余数全取到了，所以

$ 1 imes 2 imes 3 imes ··· imes (p-1)equiv a imes 2a imes 3a imes ··· imes a(p-1) (mod p ) $

即

$ (p-1)! equiv (p-1)! a^{p-1} ( mod p ) $

因为$ ( (p-1)!, p )=1 $
所以

$ a^{p-1}equiv 1 (mod p ) $

当遇到求$ a/b mod p $(p为质数)时，因为除法不能分开mod,所以要变成

$ a imes b^{-1} mod p $

运用费马小定理再变

$ a imes (b^{p-1})b{-1} mod p $

$ a imes b^{p-2} mod p $

不过，好麻烦啊

无聊时逛了wck的博客，看到他看到了vfk的神奇代码：（此处转载代码）

rfact[1] = 1;
for (int x = 2; x <= n; x++)
    rfact[x] = (s64)rfact[Mod % x] * (Mod - Mod / x) % Mod;

rfact[i]是1/i mod p,称为i的逆元
证明：
设$ p=kx+b, k=left lfloor frac{p}{x} ight floor, b=p mod x $,要求rfact[x].

(ecause pequiv kx+b (mod p ))

$ herefore xpequiv kx+b (mod p ) $

$ frac{p}{b}equiv frac{k}{b}+frac{1}{x} (mod p ) $

$ frac{1}{x} equiv frac{p-k}{b}(mod p ) $

所以递推就可以把逆元全求出来。

告别快速幂。

PS:

好像发现了一些问题……
这里的Mod一定要是质数，否则会有错。
如果Mod不是质数，那么只能用扩展欧几里得。
(rfact[x] equiv frac{1}{x} (mod p))
(x cdot rfact[x] - kp= 1)
扩展欧几里得可求。