数论神题
进击的羊角兽
题目描述:
求满足 (a+b|ab(a,b leq n,a eq b))的有序数对((a,b))的个数。
solution
设((a,b)=d , (a < b leq n)),则$ a=xd , b=yd , ( x < y )$
(a+b|ab)
(=(x+y)d|xyd^2)
(ecause (x+y, x)=1,(x+y, y)=1)
( herefore (x+y)|d)
$ herefore x < y leq sqrt{n} $
设(d=z(x+y)),则(a=xz(x+y) , b=yz(x+y))
即原问题为求数对((x, y, z)( x < y leq sqrt{n}, z leq lfloor frac {n}{y(x+y)} floor))
$$Ans=sum_{x < y} sum_{(x, y)=1} lfloor frac {n}{y(x+y)} floor$$
$$=sum_{x < y} sum_{d=(x, y)}varepsilon(d) lfloor frac {n}{y(x+y)} floor$$
$$=sum_{x < y} sum_{d|(x,y)} mu(d) lfloor frac {n}{y(x+y)} floor$$
$$=sum_{x < y,d|x,d|y} mu(d) lfloor frac {n}{y(x+y)} floor$$
设(x=x'd, y=y'd)
$$=sum_{x' < y'} mu(d) lfloor frac {n}{y'(x'+y')d^2} floor$$
为了方便,下面的(x',y' ext 用回 x,y ext 表示)
$$=sum_{x < y} mu(d) lfloor frac {n}{y(x+y)d^2} floor (d leq sqrt{n})$$
现在就来解释一下上面的(varepsilon(), mu())
这个是莫比乌斯函数的性质。
这样只有当((x,y)=1)时,(lfloor frac {n}{y(x+y)} floor) 才会被算进去。
(mu(n))很容易就可以算出来,显然当(n=1)时(mu(1)=1),对于一个数(n),它的所有约数的(mu())的和为(0),而(n)的其中一个约数就是(n),小于(n)的(mu())又已经算出来了,就可以把(mu(n))算出来。
$$sum_{x < y} mu(d) lfloor frac {n}{y(x+y)d^2} floor (d leq sqrt{n})$$
设
$$f(t)=sum_{x < y} lfloor frac {t}{y(x+y)} floor$$
则
$$Ans=sum_{x < y} mu(d)f(frac {n}{d^2})$$
$$f(t)=sum_{x < y} lfloor frac {t}{y(x+y)} floor$$
$$=sum_{x < y, z leq lfloor frac {t}{y(x+y)} floor} 1$$
$$=sum_{x leq y-1, y(x+y) leq lfloor frac {t}{z} floor} 1$$
$$=sum_{x leq y-1, x leq lfloor frac {t}{zy} floor -y} 1$$
[f(t)=sum h(lfloor frac {t}{z}
floor)
]
终于都推完了。
答案记得乘2
分析一下时间复杂度。
(h(s)):因为最小值要比大于(0),所以(y leq sqrt {s}),而(s=lfloor frac {t}{z} floor=lfloor frac {n}{zd^2} floor),所以(s)最多有(2sqrt {n})个,时间复杂度为:
$$int_{0}^{sqrt {n}} (sqrt {x} + sqrt { frac {n}{x}} ) mathrm{d}x$$
(f(s)):分析同上,一个(f(s))需要(sqrt {s})的时间
(Ans):枚举(d)要(sqrt {n}),算(f(s))需要(sqrt {s})的时间,总的时间复杂度为:
$$int_{0}^{sqrt {n}} (sqrt {x} + sqrt { frac {n}{x}} ) mathrm{d}x$$
预处理(h(s)),所以整个算法的时间为:
$$int_{0}^{sqrt {n}} (sqrt {x} + sqrt { frac {n}{x}} ) mathrm{d}x$$
$$=frac {8}{3} n^{ frac {3}{4}}$$
贴代码:
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <vector>
#include <map>
#include <deque>
#include <queue>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=int(1e6)+100;
LL n, ans;
int qn;
LL u[maxn], h[maxn], hv[maxn];
void getu()
{
for (int i=1; i<=qn; ++i) u[i]=1;
for (int i=2; i<=qn; ++i)
{
u[i]=-u[i];
for (int j=2; i*j<=qn; ++j) u[i*j]+=u[i];
}
}
LL geth1(LL num)
{
int cut=(sqrt(1+8*num)+1)*0.25;
int fi=(int)floor(sqrt(num));
LL ret=LL(cut-1)*cut/2-(LL)(cut+1+fi)*(fi-cut)/2;
for (int i=cut+1; i<=fi; ++i)
ret+=num/i;
return ret;
}
void geth()
{
for (int i=1; i<=qn; ++i)
{
h[i]=geth1(i);
hv[i]=geth1(n/i);
}
}
LL getf(LL num)
{
LL f=0;
int fi=(int)floor(sqrt(num));
for (int i=1; i<=fi; ++i)
f+=h[i]*(num/i-num/(i+1));
for (int i=1; i<=fi; ++i)
{
if (num / i <= fi) continue;
if (num/i>sqrt(n)) f+=hv[n/(num/i)];
else f+=h[num/i];
}
/*
if (LL(sqrt(num))*LL(sqrt(num))==num)
f-=h[LL(sqrt(num))];
*/
return f;
}
void solve()
{
getu();
geth();
for (int i=1; i<=qn; ++i)
ans+=u[i]*getf(n/((long long)i*i));
}
int main()
{
freopen("nixgnoygnay.in", "r", stdin);
freopen("nixgnoygnay.out", "w", stdout);
scanf("%I64d", &n);
qn=(int)floor(sqrt(n));
solve();
printf("%I64d
", ans*2);
return 0;
}