Codeforces Round #502

Codeforces Round #502

C. The Phone Number

题目描述：求一个(n)排列，满足(LIS+LDS)最小

solution
枚举(LIS)，可证明(LDS)的最小值为(left lceil frac{n}{LIS} ight ceil)。

证明：
假设(LDS<left lceil frac{n}{LIS} ight ceil)，令((a_i, b_i))为(i)为结尾的(LIS)和(LDS)，可知((a_i, b_i))二元组两两不同（假设(a_i=a_j, b_i=b_j, i<j, ecause a_i=a_j， herefore p_i>p_j), 则(b_j=b_i+1)矛盾）

则有(1leq a_i leq LIS),
(1leq b_i leq LDS leq left lceil frac{n}{LIS} ight ceil -1 < frac{n}{LIS}+1-1=frac{n}{LIS})

所以二元组的个数小于(LIS cdot frac{n}{LIS}=n)，根据鸽巢原理，必定有两个二元组相同，矛盾。

因此(LDS)的最小值为(left lceil frac{n}{LIS} ight ceil)。

根据这个可构造答案，从大到小排，然后每(LIS)个一组，剩余的一组，然后每组从小到大排。

时间复杂度：(O(n))

E. The Supersonic Rocket

题目描述：题目看得很过瘾，竟然可以把判断两个凸包是否相同描述得如此得复杂。。。

solution
以边长和角度（可以用相邻边的点乘代替）的顺序作为凸包的特征值，把第一个凸包的特征值看成一个字符串，第二个凸包的特征值复制两遍，跑一次(KMP)即可。

时间复杂度：(O(nlogn))

F. The Neutral Zone

题目描述：定义(exlog_f(p_1^{a_1}p_2^{a_2} cdots p_k^{a_k})=a_1f(p_1)+a_2f(p_2)+cdots+a_kf(p_k), p_1^{a_1}p_2^{a_2} cdots p_k^{a_k})是一个数的质因数分解，(f(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+D), 求(sum_{i=1}^{n} exlog_f(i))

solution
其实就是求

[sum_{i=1}^{n ext{以内质数个数}} f(p_i)sum_{j=1}^{infty} left lfloor frac{n}{p_i} ight floor ]

但是空间只有(16M)

方法一：
质数中除了(2, 3)其它质数模(6)为(pm 1)，以此可以将线性筛的数组控制在十几(M)。

方法二：
将(sqrt{n})的质数求出来，然后将(n)分块，每一块分(3 imes 10^6)，然后每一块用(sqrt{n})的质数筛，筛剩的就是质数。

时间复杂度：(O(nlnsqrt{n}))

G. The Tree

题目描述：有一棵以(1)为根的树，一开始所有点都是白色，现要支持三种操作：

1. 选择一个节点，如果这个节点是白色，则将它变成黑色，否则对它的所有儿子进行同样操作。
2. 选择一个节点，将这个节点的子树全部变成白色。
3. 询问一个节点的颜色。

solution
题解给的方法是对操作分块((sqrt{n}))，然后每一块的操作只涉及(sqrt{n})个点，然后不知道怎么搞。。。
下面一个小哥给了一个树剖的做法，感觉好理解一些。

首先将所有点标记为(-1)，
对于操作(1)，将那个点(+1)，
对于操作(3)，就是询问该点到根的后缀和最大值是否非负，如果非负，则这个点为白色，否则就是黑色。
对于操作(2)，先询问父亲到根的最大后缀和((x))，然后将子树全部变成(-1)，最后如果(x>0), 则询问的那个点要加上(-x)，以消除前面操作对该子树的影响。

时间复杂度：(O(nlogn))