ElGamal算法的数字签名

1、准备步骤

1）随机选取大素数 p 和 g<p（g 最好是 p 的素根）。
2）随机选取整数 x，x∈[1, p-2]，计算 y=g^x(mod p)。
3）设 m∈Z 是待签名的消息，秘密随机选取一个整数 k，k∈[1, p-2]，且 k 与 p-1 互质

2、签名过程

1）计算 r 和 s：

r=g^k(mod p)
s=k^-1(m-rx)(mod p-1)（k^-1 表示 k mod p-1 的逆元）
2）（m, r, s）为对消息 m 的数字签名。

3、验证签名

1）对方收到对消息 m 的数字签名（m, r, s）后，利用签名者的公开密钥（y, g, p）对签名进行以下验证：
(y^r)(r^s) mod p=g^m(mod p)（左式计算时可以使用快速幂取模）
如果上式成立，则接受该签名，否则拒绝该签名。

4、签名过程实现（测试对消息 'A' 进行签名）：

import java.util.ArrayList;

public class Main {
    private static ArrayList<Integer> suArr = new ArrayList<>();
    private static int[] xy = new int[2];
    // 定义素数的范围为 8-bit
    private static int MAX = 255;
    public static void main(String[] args) {
        int p, g, x, y, k, r, s;
        int m = (int)'A';

        // 初始化素数数组
        initSuArr();

        // 取一个素数 p
        p = suArr.get((int) (Math.random() * (suArr.size())));

        // g 是 p 的一个本原元
        g = 2;
        
        // x >= 1 && x <= p-2
        x = (int)(Math.random() * (p-2))+1;

        // y = g^x mod p
        y = myPow(g, x, p); // y是公开密钥

        // k >= 1 && k <= p-2 且 k 与 (p-1) 互质
        k = (int)(Math.random() * (p-2))+1;
        while (isHuZhi(k, p-1) != 1) {
            k = (int)(Math.random() * (p-2));
        }

        // r = g^k mod p
        r = myPow(g, k, p);

        // 计算k^-1 mod p-1
        exGcd(k, (p-1));
        k = xy[0];
        if(k < 0) k += (p-1);

        // s = k^(-1)*(m-rx)(mod p-1)
        s = (k*(m-r*x)) % (p-1); // (m,r,s)为对消息m的数字签名
        // s可能为负值，所以要将其转化为正数，利用a%b=(a%b+b)%b
        if(s < 0) s = (s + p-1) % (p-1);

        if ((myPow(y, r, p) * myPow(r, s, p))%p == myPow(g, m, p)) {
            System.out.println("接受该签名");
        } else {
            System.out.println("拒绝该签名");
        }
    }

    // 判断一个数是否为素数
    public static boolean isSuShu(int num) {
        int max = (int) Math.sqrt(num);
        for (int i = 2; i <= max; i++) {
            if (num % i == 0)
                return false;
        }
        return true;
    }

    // 初始化素数数组
    public static void initSuArr() {
        suArr.add(2);
        for (int i = 3; i <= MAX; i++) {
            if (isSuShu(i))
                suArr.add(i);
        }
    }

    // 判断两个数是否互质
    public static int isHuZhi(int a, int b) {
        return b == 0 ? a : isHuZhi(b, a % b);
    }

    public static int myPow(int a, int b, int m) {
        int res = 1;
        a %= m;
        while (b != 0) {
            if ((b & 1) == 1)
                res = (res * a) % m;
            a = (a * a) % m;
            b >>= 1;
        }
        return res;
    }

    // 求 a mod b 的逆元
    public static void exGcd(int a, int b) {
        if (b == 0) {
            xy[0] = 1;
            xy[1] = 0;
        } else {
            exGcd(b, a % b);
            int x = xy[0];
            xy[0] = xy[1];
            xy[1] = x - (a / b) * xy[1];
        }
    }
}

参考文档：

1）https://blog.csdn.net/qq_34490018/article/details/79758620