Luogu4389 付公主的背包（生成函数+多项式exp）

　　显然构造出生成函数，对体积v的物品，生成函数为1+x^v+x^2v+……=1/(1-x^v)。将所有生成函数乘起来得到的多项式即为答案，设为F(x)，即F(x)=1/∏(1-x^v_i)。但这个多项式的项数是Σv_i级别的，无法直接分治FFT卷起来。

　　我们要降低多项式的次数，于是考虑取对数，化乘为加，得到lnF(x)=-Σln(1-x^v_i)。只要对每个多项式求出ln加起来再exp回去即可。

　　考虑怎么对这个特殊形式的多项式求ln。对ln(1-x^v)求导，得ln(1-x^v)'=(1-x^v)'/(1-x^v)=-vx^v-1/(1-x^v)=-vΣx^(k+1)v-1，再积分得-vΣx^(k+1)v/(k+1)v=-Σx^kv/k(k>=1)。注意到由调和级数，总共只有mlogm项要加起来。然后多项式exp即可得到F(x)。

#include<iostream> 
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define P 998244353
#define N 140010
char getc(){char c=getchar();while ((c<'A'||c>'Z')&&(c<'a'||c>'z')&&(c<'0'||c>'9')) c=getchar();return c;}
int gcd(int n,int m){return m==0?n:gcd(m,n%m);}
int read()
{
	int x=0,f=1;char c=getchar();
	while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1;c=getchar();}
	while (c>='0'&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
	return x*f;
}
int n,m,t,a[N],f[N<<2],g[N<<2],x[N<<2],y[N<<2],r[N<<2],A[N<<2],B[N<<2];
int ksm(int a,int k)
{
	int s=1;
	for (;k;k>>=1,a=1ll*a*a%P) if (k&1) s=1ll*s*a%P;
	return s;
}
int inv(int a){return ksm(a,P-2);}
void DFT(int *a,int n,int g)
{
	for (int i=0;i<n;i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|(i&1)*(n>>1);
	for (int i=0;i<n;i++) if (i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);
	for (int i=2;i<=n;i<<=1)
	{
		int wn=ksm(g,(P-1)/i);
		for (int j=0;j<n;j+=i)
		{
			int w=1;
			for (int k=j;k<j+(i>>1);k++,w=1ll*w*wn%P)
			{
				int x=a[k],y=1ll*w*a[k+(i>>1)]%P;
				a[k]=(x+y)%P,a[k+(i>>1)]=(x-y+P)%P;
			}
		}
	}
}
void IDFT(int *a,int n)
{
	DFT(a,n,inv(3));
	int u=inv(n);
	for (int i=0;i<n;i++) a[i]=1ll*a[i]*u%P;
}
void mul(int *a,int *b,int n)
{
	DFT(a,n,3),DFT(b,n,3);
	for (int i=0;i<n;i++) a[i]=1ll*a[i]*b[i]%P;
	IDFT(a,n);
}
void Inv(int *a,int *b,int n)
{
	if (n==1) {for (int i=0;i<t;i++) b[i]=0;b[0]=inv(a[0]);return;}
	Inv(a,b,n>>1);
	for (int i=0;i<n;i++) A[i]=a[i];
	for (int i=n;i<(n<<1);i++) A[i]=0;
	n<<=1;
	DFT(A,n,3),DFT(b,n,3);
	for (int i=0;i<n;i++) b[i]=1ll*b[i]*(P+2-1ll*A[i]*b[i]%P)%P;
	IDFT(b,n);
	n>>=1;
	for (int i=n;i<(n<<1);i++) b[i]=0;
}
void trans(int *a,int *b,int n){for (int i=0;i<n;i++) b[i]=1ll*a[i+1]*(i+1)%P;}
void dx(int *a,int *b,int n){b[0]=0;for (int i=1;i<n;i++) b[i]=1ll*a[i-1]*inv(i)%P;}
void Ln(int *a,int t)
{
	memset(x,0,sizeof(x)),memset(y,0,sizeof(y));
	trans(a,x,t);Inv(a,y,t>>1);mul(x,y,t);dx(x,a,t);
}
void Exp(int *a,int *b,int n)
{
	if (n==1){for (int i=0;i<t;i++) b[i]=0;b[0]=1;return;}
	Exp(a,b,n>>1);
	for (int i=0;i<(n>>1);i++) B[i]=b[i];
	for (int i=(n>>1);i<n;i++) B[i]=0;
	Ln(B,n);
	for (int i=0;i<n;i++) B[i]=(P-B[i]+a[i])%P;
	B[0]=(B[0]+1)%P;
	for (int i=n;i<(n<<1);i++) B[i]=0;
	mul(b,B,n<<1);
	for (int i=n;i<(n<<1);i++) b[i]=0;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("bag.in","r",stdin);
	freopen("bag.out","w",stdout);
	const char LL[]="%I64d
";
#else
	const char LL[]="%lld
";
#endif
	n=read(),m=read();
	for (int i=1;i<=n;i++) a[read()]++;n=m;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=i;j<=n;j+=i)
		f[j]=(f[j]+1ll*a[i]*inv(j/i))%P;
	int t=1;while (t<=(n<<1)) t<<=1;
	Exp(f,g,t);
	for (int i=1;i<=m;i++) printf("%d
",g[i]);
	return 0;
}