二项式反演

先从反演原理出发，假如存在两个数列 (f, g)，我们知道 (f_n = sumlimits_{i = 0} ^ n a_{n, i} imes g_i)，则 (g_n = sumlimits_{i = 0} ^ n b_{n, i} imes f_i) 恒成立，那么我们由 (f) 推出 (g) 的过程叫做反演。下面我们来探讨一下上面两个式子恒成立的条件，将左边带入右边，那么有：

[egin{aligned} g_n &= sumlimits_{i = 0} ^ n b_{n, i} sumlimits_{j = 0} ^ i a_{i, j} g_j\ &= sumlimits_{i = 0} ^ n g_i sumlimits_{j = i} ^ n b_{n, j} imes a_{j, i} end{aligned} ]

因此，如果反演要成立，则 (sumlimits_{j = i} ^ n b_{n, j} imes a_{j, i} = [i = n])，因此我们只需要找到这样一种恒等式，就能自己构建起一套反演体系。而我们常见的二项式反演大多来自于这样两个恒等式：

[sumlimits_{i = 0} ^ n (-1) ^ i dbinom{n}{i} = [n = 0] ]

[sumlimits_{i = n} ^ m (-1) ^ {i - n} dbinom{m}{i} imes dbinom{i}{n} = [n = m] ]

前一个式子的证明考虑使用二项式定理 ((x + y) ^ n = sumlimits_{i = 0} ^ n dbinom{n}{i} x ^ i y ^ {n - i})，令 (x = -1, y = 1) 即可。

再来考虑证明后一个式子：

[egin{aligned} sumlimits_{i = n} ^ m (-1) ^ {i - n} dbinom{m}{i} imes dbinom{i}{n} &= sumlimits_{i = n} ^ m (-1) ^ {i - n} dbinom{m}{n} imes dbinom{m - n}{i - n}\ &= dbinom{m}{n} sumlimits_{i = n} ^ m (-1) ^ {i - n} imes dbinom{m - n}{i - n}\ &=dbinom{m}{n} sumlimits_{i = 0} ^ {m - n} (-1) ^ i imes dbinom{m - n}{i} end{aligned} ]

最后一步同样考虑二项式定理 (dbinom{m}{n} imes (-1 + 1) ^ {m - n} = dbinom{m}{n} sumlimits_{i = 0} ^ {m - n} (-1) ^ i imes dbinom{m - n}{i} = [n = m])。

那么我们能通过这两个恒等式造出那些反演公式呢？

第一个恒等式最经典的即 (f_n = sumlimits_{i = n} ^ m dbinom{m}{i} g_i imes k_i, g_0 = sumlimits_{i = 0} ^ m (-1) ^ i f_i)，也就是我们通常使用的容斥。组合意义即钦定 (i) 个位置非法其余位置随意的方案，然后计算出没有位置非法的方案。虽然上面的式子推出来与反演原理不同，但将左边带入右边最终证明是与式一是完全一致的。

接下来是由式二带出来的反演公式：

[f_n = sumlimits_{i = 0} ^ n (-1) ^ i dbinom{n}{i} g_i, g_n = sumlimits_{i = 0} ^ n (-1) ^ i dbinom{n}{i} f_i ]

这是一个极其对称的式子，也非常的好记，但一般而言 (f, g) 的关系会是下面这种形式：

[f_n = sumlimits_{i = 0} ^ n dbinom{n}{i} g_i, g_n = sumlimits_{i = m} ^ n (-1) ^ {n - i} dbinom{n}{i} f_i ]

注意这里 (i) 可以从 (m)（一个任意的数）开始，因为运用上面的恒等式二的方法证明时不需要保证 (i) 从 (0) 开始。

然而，二项式定理一般出现最多的情况是下面这种：

[f_n = sumlimits_{i = n} ^ m dbinom{i}{n} g_i, g_n = sumlimits_{i = n} ^ m (-1) ^ {i - n} dbinom{i}{n} f_i ]

同样把左边带入右边与恒等式二本质相同的证法即可证明。其实，二项式定理扩展到高维形式也是成立的，接下来的做题记录当中将会提到。