c语言数字图像处理（六）：二维离散傅里叶变换

基础知识

复数表示

C = R + jI

极坐标：C = |C|(cosθ + jsinθ)

欧拉公式：C = |C|e^jθ

有关更多的时域与复频域的知识可以学习复变函数与积分变换，本篇文章只给出DFT公式，性质，以及实现方法

二维离散傅里叶变换(DFT)

其中f(x,y)为原图像，F(u,v)为傅里叶变换以后的结果，根据欧拉公式可得，每个F(u,v)值都为复数，由实部和虚部组成

代码示例

void dft(short** in_array, double** re_array, double** im_array, long height, long width)
{
    double re, im, temp;

    for (int i = 0; i < height; i++){
        for (int j = 0; j < width; j++){
            re = 0;
            im = 0;

            for (int x = 0; x < height; x++){
                for (int y = 0; y < width; y++){
                    temp = (double)i * x / (double)height + 
                           (double)j * y / (double)width;
                    re += in_array[x][y] * cos(-2 * pi * temp);
                    im += in_array[x][y] * sin(-2 * pi * temp);
                }
            }
            
            re_array[i][j] = re;
            im_array[i][j] = im;
        }
    }
    printf("dft done
");
}

傅里叶谱

相角

功率谱

傅里叶变换频谱图

对于上面得两幅图案，在区间[0, M-1]中，变换数据由两个在点M/2处碰面的背靠背的半个周期组成

针对显示和滤波的目的，在该区间中有一个完整的变换周期更加方便，因为完整周期中数据是连续的

我们希望得到上图所示的图案

傅里叶变换的平移性质

因此对每个f(x, y)项乘以(-1)^x+y可达目的

代码示例

void fre_spectrum(short **in_array, short **out_array, long height, long width)
{
    double re, im, temp;
    int move;

    for (int i = 0; i < height; i++){
        for (int j = 0; j < width; j++){
            re = 0;
            im = 0;

            for (int x = 0; x < height; x++){
                for (int y = 0; y < width; y++){
                    temp = (double)i * x / (double)height + 
                           (double)j * y / (double)width;
                    move = (x + y) % 2 == 0 ? 1 : -1;
                    re += in_array[x][y] * cos(-2 * pi * temp) * move;
                    im += in_array[x][y] * sin(-2 * pi * temp) * move;
                }
            }
            
            out_array[i][j] = (short)(sqrt(re*re + im*im) / sqrt(width*height));
            if (out_array[i][j] > 0xff)
                out_array[i][j] = 0xff;
            else if (out_array[i][j] < 0)
                out_array[i][j] = 0;
 27         }
    }
}

执行结果

旋转性质

 

即f(x, y)旋转一个角度，F(u, v)旋转相同的角度

 二维离散傅里叶反变换

代码示例

void idft(double** re_array, double** im_array, short** out_array, long height, long width)
{
    double real, temp;

    for (int i = 0; i < height; i++){
        for (int j = 0; j < width; j++){
            real = 0;

            for (int x = 0; x < height; x++){
                for (int y = 0; y < width; y++){
                    temp = (double)i * x / (double)height + 
                           (double)j * y / (double)width;

                    real += re_array[x][y] * cos(2 * pi * temp) -
                            im_array[x][y] * sin(2 * pi * temp);
                }
            }
            
            out_array[i][j] = (short)(real / sqrt(width*height));
            if (out_array[i][j] > 0xff)
                out_array[i][j] = 0xff;
            else if (out_array[i][j] < 0)
                out_array[i][j] = 0;
        }
    }
    printf("idft done
");
}

经验证，图像经傅里叶变换，然后再反变换以后可恢复原图

改进

本篇文章只是按照二维离散傅里叶变换公式进行了实现，在测试的过程中发现，执行速度真的是非常慢，算法时间复杂度O(n⁴)，等以后有时间再对这段代码进行优化。