欧拉函数学习笔记

什么是欧拉函数

记欧拉函数为(varphi(x))表示比(x)小且与(x)互质的数的个数。

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怎么算欧拉函数

通项公式:(varphi(x)=x*prod(1-frac{1}{p_i})) ((p_i)为(x)的质因数)

因为欧拉函数是一个积性函数，因此我们可以用欧拉筛(线性筛)在(O(n))的时间内预处理出来：具体证明请见后文

void GetPrime()
{
	memset(IsPrime,1,sizeof IsPrime);
	IsPrime[1]=false;
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(IsPrime[i]==true)
			prime[++prime_tot]=i,phi[i]=i-1;
		for(int j=1;j<=prime_tot and i*prime[j]<=n;j++)
		{
			IsPrime[i*prime[j]]=false;
			if(i%prime[j]==0)
			{
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];//性质二
				break;
			}
			phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];//性质一
		}
	}
}

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欧拉函数的性质

1. 欧拉函数是一个积性函数，因此我们有若(gcd(p,i/p)=1)，则(varphi(i)=varphi(i/p)*varphi(p)) （我不会证）
2. 若(gcd(p,i/p)!=1)，且(p)为质数，则(varphi(i)=varphi(i/p)*p)

证明：
因为(gcd(p,i/p)!=1)而且(p)为质数，所以(i)一定由至少两个(p)组成。
所以说(varphi(i/p)=varphi(i)/p)(因为对累乘没有影响，只对最前面的(x)有影响((x)指的是通项式中的(x)))
证毕