19_03_26校内训练[魔法卡片]

题意

有n张有序的卡片，每张卡片上恰有[1,m]中的每一个数，数字写在正面或反面。每次询问区间[l,r]，你可以将卡片上下颠倒，问区间中数字在卡片上方的并的平方和最大是多少。q,n*m≤1,000,000。

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思考

一个很重要的性质，若区间长度≥log m+1,则答案为12+22+33+...+m2。

为什么?可以动态地观察。对于没有出现的数字集合，当前卡片上的数字至少有一半的数字出现在正面或者是反面，因此每次你可以将未出现的数字的数量至少减少一半。每次重复上次操作。

对于长度很小的，我们暴力初始化答案。可以发现，若我们强制不选某一个数字，则一定只有一种方法，即每张卡片有它的均朝下。

因此最多只有m种方案（可能有重复的）。同时，若区间中的方案数＜pow(2,区间长度)，必然有方法使得所有数字都至少有一个在上方。

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不需要代码的代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long int ll;
const ll maxn=1E6+5;
ll min(ll x,ll y){return x<y?x:y;}
ll n,m,q,x,y,g,f[maxn][20],vis[maxn],ti,sum[maxn],v[maxn],bel[maxn];
vector<int>a[maxn];
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n>>m>>q;
    for(int i=1;i<=m;++i)g+=i*i;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        cin>>x;
        for(int j=0;j<=m;++j)a[i].push_back(0);
        for(int j=1;j<=x;++j)
        {
            cin>>y;
            a[i][y]=1;
        }
    }
    for(int l=1;l<=n;++l)
    {
        for(int i=1;i<=m;++i)bel[i]=0;
        for(int r=l;r<=min(n,l+19);++r)
        {
            ++ti;
            if(l!=r&&f[l][r-l]==g){f[l][r-l+1]=g;continue;}
            int cur=1<<(r-l+1);
            for(int i=1;i<=m;++i)
            {
                if(a[r][i])bel[i]|=1<<(r-l);//1或0其实是等价的 
                if(vis[bel[i]]!=ti)
                {
                    vis[bel[i]]=ti;
                    sum[bel[i]]=0;
                    --cur;
                }
            }
            if(cur>0)f[l][r-l+1]=g;
            else
            {
                for(int i=1;i<=m;++i)sum[bel[i]]+=i*i;
                for(int i=1;i<=m;++i)f[l][r-l+1]=max(f[l][r-l+1],g-sum[bel[i]]);
            }
        }
    }
    while(q--)
    {
        cin>>x>>y;
        if(x>y)swap(x,y);
        if(y-x+1>=20)cout<<g<<endl;
        else cout<<f[x][y-x+1]<<endl;
    }
    return 0;
}