特征向量和特征值
定义1：(A)为(n imes n)的矩阵，(x)为非零向量，若存在(lambda)满足(Ax=lambda x)，那么(lambda)为该矩阵的特征值，(x)为其对应的特征向量。
警告：特征向量必须非零，但特征值可以为零；根据定义，特征向量也可以任意"拉伸"。
直观理解：当线性变换(A)作用于向量(x)时，(x)只进行了该方向上(lambda)倍的拉伸。
例1：设(A=egin{bmatrix}1&6\5&2end{bmatrix})，那么对应于(lambda_1=-4)的特征向量为(egin{bmatrix}6\-5end{bmatrix})，对应于(lambda_2=7)的特征向量为(egin{bmatrix}1\1end{bmatrix})。
不难发现，(lambda)是(A)的特征值当且仅当方程((A-lambda I)x=0)有非平凡解。
定理1：三角矩阵的主对角线的元素是其特征值。
简单说理：要使上面的方程有非平凡解，就应该使括号里的矩阵有线性相关的列（否则(x)向量就会取0），即对角线上至少有一个零元素，那么当(lambda)取对角线上的某个值时会出现这样的情况。
推论：存在特征值为0，当且仅当(A)不可逆。
定理2：若特征值互不相同，那么特征向量线性无关。
定理3：(A)的所有特征值(lambda)满足充要条件(|A-lambda I|=0)。
例2：求(A=egin{bmatrix}2&3\3&-6end{bmatrix})的特征值。
(|A-lambda I|=egin{bmatrix}2-lambda&3\3&-6-lambdaend{bmatrix}=0)即((2-lambda)(-6-lambda)-9=0)，得(lambda_1=3,lambda_2=-7)
定义2：矩阵(A)的特征多项式为(P(lambda)=|A-lambda I|)。
定理4：Calay-Hamiltion定理：(P(A)=0)。直观上是如此显然。但需要严谨证明。
相似性
定义3：我们称(n imes n)的方阵(A)相似于(B)，若存在可逆矩阵(P)，使得(P^{-1}AP=B)，或等价地(A=PBP^{-1})。显然，这是一个等价关系，记为(Asim B)。
定理5：若(Asim B)，那么它们有相同的特征多项式。
证明：设(B=P^{-1}AP)，那么(B-lambda I=P^{-1}AP-lambda P^{-1}P=P^{-1}(AP-lambda P)=P^{-1}(A-lambda I)P)。
因此，(|B-lambda I|=|P^{-1}(A-lambda I)P|=|P^{-1}| imes|A-lambda I| imes|P|=|A-lambda I|)
警告：特征多项式相同，矩阵不一定相似。（因为他们的大小甚至都会不一样！）
对角化
定义4：(n imes n)对角矩阵(D)形如(egin{bmatrix}a_1&0&cdots&0\0&a_2&cdots&0\vdots&vdots&ddots&vdots\0&0&cdots&a_nend{bmatrix})。对于(A)，若存在可逆矩阵(P)和对角矩阵(D)，使得(A=PDP^{-1})，称这个为(A)的对角化。
不难发现，(D^k)=(egin{bmatrix}a_1^k&0&cdots&0\0&a_2^k&cdots&0\vdots&vdots&ddots&vdots\0&0&cdots&a_n^kend{bmatrix})，(A^k=(PDP^{-1})^k=PD^kP^{-1})。
定理6：若(A)能对角化，当且仅当(A)有n个线性无关的特征向量（但并不要求特征值互不相同）。并且可以证明(P)的列向量分别是(A)的特征向量，(D)主对角线上的元素分别是对应于(P)中的特征向量的特征值。
例3：对角化(A=egin{bmatrix}1&3&3\-3&-5&-3\3&3&1end{bmatrix})。
(P(lambda)=-lambda^3-3lambda^2+4=-(lambda-1)(lambda+2)^2=0)（如果你差一个符号，当然也是没有问题的），特征值为1和-2。
对于(lambda=1)，取特征向量(v_1=egin{bmatrix}1\-1\1end{bmatrix})
对于(lambda=-2)，由于它的重数是2，因此特征向量形如(v=egin{bmatrix}x_1\x_2\x_3end{bmatrix}=x_2egin{bmatrix}-frac{1}{2}\1\0end{bmatrix}+x_3egin{bmatrix}-frac{1}{2}\0\1end{bmatrix})，（把(lambda=2)带入((A-lambda I)=0)中可以看出来）。取(v_2=egin{bmatrix}-1\1\0end{bmatrix})和(v_3=egin{bmatrix}-1\0\1end{bmatrix})。
经验证，这三个向量都是线性无关的。
因此，构造(P=egin{bmatrix}v_1&v_2&v_3end{bmatrix}=egin{bmatrix}1&-1&-1\-1&1&0\1&0&1end{bmatrix},D=egin{bmatrix}1&0&0\0&-2&0\0&0&-2end{bmatrix})。
在上面计算中可以看到，若某个特征向量的重数是(k)，那么对应的矩阵的秩必须至多为(m-k)才能有解。
应用
1.求一个矩阵的特征多项式。
2.CF923E