CF1205E Expected Value Again

题意

题意翻译

对于一个字符串\(s\)，我们定义其美丽值\(f(s)\)为满足下列两个条件的正整数\(i\)的个数：
\(1\leq i<|s|\)
\(s\)长度为\(i\)的前缀与后缀相等，即\(\forall j\in N,1\leq j\leq i\)，均有\(s_j=s_{|s|-i+j}\)
给定正整数\(n(1\leq n\leq 10^5),k(1\leq k\leq 10^9)\)。设字符集大小为\(k\)，请求出所有长度为\(n\)的字符串\(s\)的\(f(s)^2\)的期望值。

做法

长度为\(x\)的\(border\)等价于\(n-x\)非严格周期
另\(g_i(s)\)为字符串\(s\)有周期\(i\)的概率，\(f(s)^2=\sum\limits_{i=1}^{n-1}E(g_{i,j}(s))\)，\(g_{i,j}(s)\)表示字符串\(s\)同时具有\(i\)与\(j\)周期的概率

结论1：有计算概率公式：

\[g_{i,j}(s)=\dfrac{k^{max(i+j-n,(i,j))}}{k^n} \]

Periodicity Lemma

然后开始推式子，下面关于即，省略了一些没必要的东西，就是那种不会影响计算的东西

即计算\(\sum\limits_{i=1}^{n-1}\sum\limits_{j=1}^{n-1}k^{max(i+j-n,(i,j))}\)
\(max\)去掉，来计算\(\sum\limits_{i=1}^{n-1}\sum\limits_{j=1}^{n-1}k^{i+j-n}[i+j<n+(i,j)]\)
即\(\sum\limits_{p=1}^{n-1}\sum\limits_{d|p}\mu(\frac{p}{d})\sum\limits_{i=1}^{\frac{n-1}{p}}\sum\limits_{j=1}^{\frac{n-1}{p}}k^{ip+jp}[ip+jp<n+d\Longrightarrow i+j\le \left\lfloor\frac{n+d-1}{p}\right\rfloor]\)

\(\forall d|p,2\le \left\lfloor\frac{n+d-1}{p}\right\rfloor\le \left\lfloor \frac{n-1}{p}\right\rfloor+1\)，然后考虑\(x=i+j\)的系数，为\(x-1\)
然后暴力枚举\(p,d,i\)，记录一些东西，容易能做到\(O(nlogn)\)

题外话

关于结论\(1\)的证明，不觉得网上的题解是对的，这个结论（应该）等价于Periodicity Lemma，如果证明真这么简单，翻国外的论文不可能没有吧