CF1142D

题意

(1,2,3,4,5,6,7,8,9)为好的；若(xge 10)（令(y=x/10)），其是好的，当且仅当(y)是好的，且(x\%10<rk_{y}\%11)
(rk_y)为(y)在所有的好数中的大小排名
给定字符串(S)，求(S)的所有子串有多少个是好的。
(|S|le 10^5)

做法

观察1：一个数是好的，则所有前缀均为好的

则我们仅需求得以(l)为左端点的极长串

令(f_{i,d})为以(i)为左端点，若左边加上(d)，右端点极为(i+f_{i,d}-1)，即(d,s_i,s_{i+1},...,s_{i+f_{i,d}-1})为极长好串
可是我们会发现这样转移不了，因为必是靠(f_{i+1})转移而来，而描述数字(d)甚是不便

定义1：对于好数(x,y)，若(frac{y}{10}=x)，则称(y)是由(x)扩展出来的，即(x)右侧添加一个数得到(y)
观察2：一个好数(x)，能扩展出多少数，只关乎于(rk_x\%11)，且(x)能扩展出(rk_x\%11\%10)

这个建议手玩一下

结论1：令(rk_x)表示(rk_x\%11)，则(rk_x=(frac{rk_{frac{x}{10}}(rk_{frac{x}{10}}-1)}{2}+(x\%10+1)+9)\%11(xge 10))

证明：
排名分别在([1,11],[12,22][23,33]...)能扩展出来的数均为(55)，(\%11=0)
则只有零项((rk_frac{x}{10}-1)\%11)这几个扩展出来的数有贡献，为(frac{rk_{frac{x}{10}}(rk_{frac{x}{10}}-1)}{2})
而(rk_{frac{x}{10}})扩展的数(le x)的个数为(x\%10+1)
再加上初始的无需扩展的数为(1sim 9)，为(9)个

对于(s[i...j])，其右边能扩展的数，之与(rk_{s[i...j]}\%11)有关

考虑(s_{i},s_{i+1})，
则我们重新定义(f_{i,d})为以i为左端点，若左边加上排名(\%11=d)后的极右端点

[egin{aligned} &dp_{i,j}=dp_{i+1,(frac{j(j-1)}{2}+s_i+10)\%10}+1&s_i<j\ &dp_{i,j}=0,&s_ige j end{aligned}]