HPC2020

D

看错了一下题目意思，特别说一下：任意两个商店间只需要花(1)个单位的时间即可前往

若我们确定要前往的商店的集合(S)，对于(forall i,jin S)，若(i)在(j)前面，则满足：

[1+a_{i} imes(t+1)+b_{i}+1+a_{j} imes(t+1+a_{i} imes(t+1)+b_{i}+1)+b_{j} leq1+a_{j} imes(t+1)+b_{j}+1+a_{i} imes(t+1+a_{j} imes(t+1)+b_{j}+1)+b_{i}Leftrightarrow frac{a_{j}}{b_{j}+1} geq frac{a_{i}}{b_{i}+1} ]

我们发现这跟时间(t)没什么关系，那么排序，即顺序已经确定好了
对于(a_i eq 0)的集合，其对于时间来说是指数变化的，最多只能选择(30)个

E

将原矩阵扩展成(2^n)行(2^m)列，第(0)行第(0)列均为(0)
令(b_{i,j})为前缀和

考虑计算答案上界，枚举(0le i<j<2^n)，即上边界为(i+1)下边界为(j)，令(c_k=b_{j,k}mathrm{xor}b_{i,k})
其能对答案的贡献为((sumlimits_{p=0}^{2^m-1} [c_p = 0]) imes (sumlimits_{p=0}^{2^m-1} [c_p = 1]) leq frac{2^{2m}}{4})
故答案的上界为(frac{2^n(2^n-1)}{2} imes frac{2^{2m}}{4})

给出构造(b_{i,j} = mathrm{popcount}(i mathrm{and} j) mod 2)，下面证明其能达到上界

先考虑(n=m)的情况，此时上界为(frac{8^n(2^n-1)}{8})
枚举左上角((i+1,k+1))右下角((j,l))，其贡献为(b_{i,k} mathrm{xor} b_{i,l} mathrm{xor} b_{j,k} mathrm{xor} b_{j,l})
由于在模(2)意义下，(mathrm{popcount}(x)mathrm{xor}mathrm{popcount}(y)=mathrm{popcount}(xmathrm{xor}y))
则贡献为：(mathrm{popcount}((i mathrm{and} k) mathrm{xor} (i mathrm{and} l) mathrm{xor} (j mathrm{and} k) mathrm{xor} (j mathrm{and} l)) mod 2)

当(i=j)或(k=l)时贡献显然为(0)，忽略(i<j,k<l)的限制，最终答案除(4)即可
单独考虑某一位，(i,j,k,l=0/1)，当({i,j}={0,1},{k,l}={0,1})时有贡献(1)。
即有贡献的个数为(4)，无贡献的个数为(12)

枚举有多少位有贡献：

[ans = sumlimits_{i=0}^n [2 mid i] inom{n}{i} 4^i 12^{n-i} ]

单位根反演可得([2 mid i]=frac{1-(-1)^i}{2})

[egin{align*} ans &= sumlimits_{i=0}^n frac{1-(-1)^i}{2} inom{n}{i} 4^i 12^{n-i} \ &= frac{sumlimits_{i=0}^ninom{n}{i} 4^i12^{n-i} - sumlimits_{i=0}^ninom{n}{i} (-4)^i12^{n-i}}{2} \ &= frac{16^n-8^n}{2} \ &= frac{8^n(2^n-1)}{2} end{align*} ]

除以(4)得(frac{8^n(2^n-1)}{8})

再考虑(n eq m)，令(n<m)，此时(k,l)还有(m-n)位未填，此时不管其怎么填，都不会改变(mathrm{popcount})的值
(frac{8^n(2^n-1)}{8} imes 4^{m-n} = frac{2^n(2^n-1)}{2} imes frac{2^{2m}}{4})

F

若不考虑(H(V,E'))的直径等于(G(V,E))的直径，合法的H满足

• H的直径只有一条
• 选取H中任意一点，bfs，得到dep，若(|dep_{u}-dep_v|le 1)，则(u,vin E')

从而我们发现，钦定(x)后，仅得到H的dep数组，即可还原H

那么考虑进G

• 钦定了H的直径
• (Esubseteq E')：若((u,v)in E)，则(|dep_u-dep_v|le 1)

令G直径为(L)，下面考虑(L)是偶数
那么直径的中点(x)确定，令其为根。
但特殊的，令(dep_x=0)，((u,v)in E)，对应的dep数组满足(dep_u-dep_vin{-1,0,1})，对于(forall i,dep_{i}in[-frac{L}{2},frac{L}{2}])。那么我们可以发现对于一个H，其被统计了两次，最后答案除以(2)即可

具体的方法就是，我们可以找到所有的关键点（即距离(x)为(frac{L}{2})）的点，然后对于((u,v)in E)，枚举(dep_u-dep_v)，对关键点进行转移

若(L)是奇数，则直径中点是一条边，对两棵子树分别做即可