【NFLSPC #2】Polynomial

题意

nfloj

做法

%%%djq
(x)
容易观察到，最优解形似：((((x+c_1)^{k_1}+c_2)^{k_2}+c_3)^{k_3}cdots)

若假设(c_1 eq 0)，初始时目标多项式(f(x)=(((x+c_1)^{k_1}+c_2)^{k_2}+c_3)^{k_3}cdots)

结论1：令(n)为(f(x))最高项系数不为(0)的次幂，(c_1=frac{[x^{n-1}]f(x)}{n})

证明：
通过归纳容易得到

我们将(f(x))表示为((x+c_1))的多项式（将系数缩小），可缩小问题的规模，即求一个目标函数(g(x))，没有进行第一种操作前就直接进行了第二种操作
考虑求出(g(x))的系数

(g(x+c)=f(x))
用二项式定理展开((x+c))，可以用多项式乘法求出系数({g_i})

考虑在没有进行第一种操作前就进行了第二种操作，即当前目标多项式(f(x)=((x^{k_1}+c_1)^{k_2}+c_2)^{k_3}cdots)
可以发现(k_1)整除(f(x))系数不为(0)的gcd

还有些判无解的细节，就不具体讲了，可以看看std