AGC034F

题意

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做法

显然从(0)到(i)的期望步数等价于从(i)到(0)的期望步数

定义：令(p_i)表示出现(i)的概率，(f_i)表示(i)到(0)的期望步数

用生成函数表示，异或卷积定义乘法，大概是一个这样的形式
(F(x)P(x)=F(x)-I(x))（(I(x)=sumlimitslimits_{i=1}^{2^n-1} x^i)）
关键就在于，(F(x)P(x))的常数项未表示出来

考虑(sumlimits p_i=1)，那么(F(x))的系数和在乘上(P(x))后是不变的
由于([x^i]F(x)P(x)=f_i-1(i eq 0))，故容易得到([x^0]F(x)P(x)=2^n-1)

那么能得到：
(F(x)P(x)=F(x)+(2^n-1)-I(x))

可能你一拍脑子，会直接(F(x)=dfrac{(2^n-1)-I(x)}{P(x)-1})，然后(FWT(P(x)-1))之后按位求逆元

这样做是不对的
结论1：(FWT(P(x)-1)_i=0(i=0),FWT(P(x)-1)_i eq 0(i eq 0))，(FWT(2^n-1-I(x)))也满足此性质

证明：
对于多项式(G(x))，令(S)为(G(x))系数之和
由FWT的性质可得，(FWT(G(x))_0=S)，(FWT(G(x))_i<S(i eq 0))
(G(x)=P(x)-1)的系数和为(0)，(G(x)=2^n-1-I(x))同理

所以我们这里的(P(x)-1)是没有逆元的
但是我们知道：((P(x)-1)F(x)=2^n-1-I(x))
也就是( ext{FWT}(P(x)-1) ext{FWT}(F(x))= ext{FWT}(2^n-1-I(x)))
由于( ext{FWT}(P(x)-1))与( ext{FWT}(2^n-1-I(x)))只有常数项为(0)，所以( ext{FWT}(F(x)_i(i eq 0))是可以通过求逆元得出的

结论2：(FWT(F(x)))的系数之和为(0)

证明：
对于多项式(G(x))，若常数项为(0)，根据FWT的性质易得(FWT(F(x)))的系数之和为(0)

于是在我们得到其他位置，可以很容易得到( ext{FWT}(F(x)_0)