KEYENCE Programming Contest 2021

D

对于一个序列，相同的对数有(2{2^{N-1}choose 2})，不同的对数有((2^{N-1})^2)
假设选了(len)个序列，那么应该满足:

[egin{aligned} lencdot 2{2^{N-1}choose 2}=ncdot {2^Nchoose 2}\ lencdot (2^{N-1})^2=mcdot {2^Nchoose 2} end{aligned}]

通过移项可得：(n:m=2^{N-1}-1:2^{N-1})

将(n=2^{N-1}-1)或(m=2^{N-1})带入上式，会得到(len=2^{N}-1)，故这是(len)的下界（同时也说明(2^{N}-1|len)）

我们通过构造一种方式，证明答案可以为(2^{N}-1)

第(i)个序列（(i=1sim 2^N-1)）
在(j)位置上（(j=0sim 2^N-1)），若( ext{popcount} (iAnd j))为偶数则填'A'，为奇数则填'B'
对于任意(N)长度的二进制，(i)仅缺失了(0)，故容易证明这个构造满足(n=2^{N-1}-1)，(m=2^{N-1})

E

snuke在当前轮直接选取，那么状态会非常不好记录
我们保留snuke在之前轮，选择放弃暂时不选的次数，然后等蚂蚁走到这来了再选
虽然这个跟原游戏不同，但显然其不会优于最优解，也包含最优解

令(f_{l,r,k})为((l,r))全部被选了，snuke还可以选(k)次的最优解

两种转移方式（填表法）：

• 满足(k>0)，那么snuke可以选择(l)或(r)，则用(f_{l-1,r,k-1}+a_{l})或(f_{l,r+1,k-1}+a_{r})转移
• 目前snuke不选择，则对手选择
  那么用(f_{l-1,r,k+1})或(f_{l,r+1,k+1})转移（按照题意，这里的转移是固定的，取(a_l,a_r)中较大的一个）

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F

感觉讲起来比较麻烦，就不写题解了...
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