loj2665

题意

loj

做法

下文为方便表示，假定( ext{bfs})序为({1,2,cdots,n})

定义：令(dfs_i)为(i)节点的( ext{dfs})序标号，(pos_i)为( ext{dfs})序上第(i)个点的标号

结论1：对于一种有效的( ext{bfs})分段，其对应恰好一棵树

证明：
考虑构造，遍历段，我们得到若干({(l_i,r_i)})，表示目前还未确定的((l_i,r_i])（(l_i)为确定的根）。
然后考虑后面一段，在每个子树，需要保证(l_i+1)在该段内，否则不合法。
这样我们构造了一棵树。

推论1：对于一棵能通过( ext{bfs})分段构造出来的树，其与( ext{bfs})分段一一对应

证明：
根据结论1，我们仅需证明两个不同的分段，不会构成一棵相同的树
这显然成立

结论2：对于一种分段({(l_i,r_i)})，其有效，当且仅当满足( ext{(i)}dfs_{l_i}<dfs_{l_i+1}<cdots<dfs_{r_i})；( ext{(ii)}dep_{pos_i}+1ge dep_{pos_{i+1}})

证明：
显然这是有效的必要性
如果满足条件，则可以通过结论1的构造方式构造出一棵树

树高显然等价于段数，考虑如何分段

• 若不满足(dfs_i<dfs_{i+1})（即(dfs_i>dfs_{i+1})），则中间必定分一段，这样就满足了结论2中的( ext{(i)})
• 若对于( ext{dfs})序上连续两个点(pos_i,pos_{i+1})，假设其在( ext{bfs})序中不连续（连续的情况在上面处理过了）。
  考虑若满足(pos_i+1<pos_{i+1})，则说明(dep_{pos_{i+1}}=dep_{pos_i}+1)
  proof：显然(dep_{pos_{i}}le dep_{pos_{i+1}})，若(pos_i)与(pos_{i+1})深度相等，根据树的性质，必然满足(pos_{i+1}=pos_i+1)，其连续与上面假设矛盾，得证。
  那么其必定满足([pos_{i},pos_{i+1}))中恰好某点为一段的末端点。

根据结论2，上述已经严格约束了有效性
为方便表示，令(s_i)表示(i)是否为某一段的末端点，那么将上述条件描述成

• 若(dfs_i<dfs_{i+1})，则(s_{i}=1)
• 若对于( ext{dfs})序上连续两个点(pos_i,pos_{i+1})，假设其在( ext{bfs})序中不连续
  则(sumlimits_{i=pos_i}^{pos_{i+1}-1}s_i=1)

在第一种情况中,钦定(i)的状态，期望答案+1
在第二种情况中，则为钦定([pos_i,pos_{i+1}-1))中的所有点的(s)是确定的
对于未钦定的位置，其(s_i)可以是(0/1)，故答案+0.5