【清华集训2014】主旋律

【清华集训2014】主旋律

题目大意

给定一张(n)个点(m)条边的无向图，保证该图整个图为一个强联通分量，保证无重边自环。
现在需要求出：有多少种删边方案，使得删完边后，整个图依旧是一个强联通分量。
数据范围：(nleq 15 , mleq n(n-1)) 。

题解

容斥题是真的鸡贼......，这(TMD)是人能想出来的？
希望下次自己再来看这篇题解的时候还能看懂吧......
规定(E[U,V])表示出度在(U)中，入度在(V)中的所有边的集合，其中(U)、(V)为点集。
对于一个点集(S)，我们随便连边，然后缩点。
那么缩完点后，形成的一定是一个(DAG)。
我们枚举缩完点后，构成出度为(0)的(scc)的点是哪些，设这个点集为(T)。
那么每一种(T)集合都可以与原来的某些连边方案对应起来。
我们确定完(T)后，(S-T)中的点先让它随便连，然后(S-T)连向(T)中的边也可以随便连。
我们可以暂时得到一个式子：

[2^{E[S,S]} = sum_{Tsubset S,T eq null} g_T *2^{E[S-T,S-T]}*2^{E[S-T,T]} ]

设(f_S)表示连完(E[S,S])中的边后，(S)整张图为一个强联通分量的方案数，即题目所求。
上式中(g_T)表示把(T)中的点连成若干强联通分量的方案数。
显然，直接(g_T = sum_{s_1,s_2...,s_k} prod_{k} f_s)是不对的。
因为由于(E[S-T,S-T])中的边也是随便连的，所以还有可能会形成其他的出度为(0)的(scc)。
所以这里应该是存在一个容斥系数的，即：

[g_T = sum_{s_1,s_2,...,s_k} coef_k*f_{s_1}f_{s_2}...f_{s_k} ]

我们令这个式子为(g_T)的定义式。
考虑一下这个容斥系数(coef)到底是什么。
我们设(r_k)表示划分成(k)个出度为(0)的(scc)的方案数应该要被算几遍，显然(r_k=1)。
然后我们来推容斥系数(coef)应该设为多少才能够使得计算出来的结果与(r_k)等效。
对于被划分成(k)个出度为(0)的(scc)的方案，
它在划分为(k-1)个中被算了(inom{k}{k-1})次，在划分为(k-2)个中被算了(inom{k}{k-2})次......
所以我们有：

[r_k = sum_{j=1}^kinom{k}{j} coef_j ]

显然是一个二项式反演，结合(r_k=1)与二项式定理我们可以得到：

[coef_k = sum_{j=1}^k (-1)^{k-j}inom{k}{j} r_k = ((-1)+1)^k - inom{k}{0}(-1)^k =(-1)^{k+1} ]

所以我们得到了容斥系数(coef_k = (-1)^{k+1})，带入之前(g_T)的定义式中：

[g_T = sum_{s_1,s_2,...,s_k} (-1)^{k+1} coef_k*f_{s_1}f_{s_2}...f_{s_k} ]

根据容斥系数可以看出，(g_{null} = -1)。
现在我们终于弄清楚(g_T)究竟应该是什么了！
到此为止，所有的准备工作已经就绪，下面开始求答案。
回到这个式子：

[2^{E[S,S]} = sum_{Tsubset S , T eq null} g_T *2^{E[S-T,S-T]}*2^{E[S-T,T]} ]

注意到这个式子中是没有(f)数组的，所以：

[g_S = 2^{E[S,S]} - sum_{Tsubsetneqq S , T eq null} g_T *2^{S-T,S-T} * 2^{E[S-T,T]} ]

所以顺次把(g)数组全部推出来即可。
然后我们来研究一下(g)的定义式：

[g_T = sum_{s_1,s_2,...,s_k} (-1)^{k+1} coef_k*f_{s_1}f_{s_2}...f_{s_k} ]

注意到，每加入一个(scc)，容斥系数会乘上一个(-1)。
由于是无序关系，所以我们可以枚举最小编号所在的强联通分量(s_1)，然后就可以得到：

[g_T = (-1) * sum_{s_1 subset T , s_1 eq null} f_{s_1} g_{T-s_1} ]

类似之前求(g)的技巧，移项可以得到：

[f_T = g_T + sum_{s_1 subsetneqq T, s_1 eq null} f_{s_1} g_{T-s_1} ]

所以说只要解决了(g)，就可以顺次推出(f)，而(g)我们已经会求了，所以就做完了。
累死我了.......
不玩了不玩了，再以不玩这种毒瘤题了......

实现代码

#include<bits/stdc++.h>
#define IL inline
#define mod 1000000007
using namespace std ;

int lk[20][20],Inside[(1<<17)],Edge[(1<<17)][20],n,m,pw[233333],pos[(1<<17)] ;
int f[(1<<17)] , g[(1<<17)] , num[(1<<17)] , mx ; 

IL void Pre() {
	for(int i = 1,u,v; i <= m; i ++) cin >> u >> v , lk[u][v] ++ ;
	mx = (1 << n) ; 
	for(int S = 0; S < mx; S ++)
		for(int i = 1; i <= n; i ++)
			for(int j = 1; j <= n; j ++)
				if((S&(1<<(i-1))) && (S&(1<<(j-1)))) Inside[S] += lk[i][j] ;
	for(int S = 0; S < mx; S ++)
		for(int v = 1; v <= n; v ++) if(S & (1 << (v - 1))) continue ;
			else for(int u = 1; u <= n; u ++)
					 if(S & (1 << (u - 1))) Edge[S][v] += lk[u][v] ;
	for(int S = 0; S < mx; S ++) {
		for(int v = 1; v <= n; v ++) if(S & (1 << (v - 1))) pos[S] = v ;
	}
	pw[0] = 1 ;
	for(int i = 1; i <= m; i ++) pw[i] = (pw[i - 1] << 1) % mod ; return ; 
}

IL void add(int &x , int y) {x += y ; if(x >= mod) x -= mod ; }

int main() {
	freopen("scon.in","r",stdin) ;
	freopen("scon.out","w",stdout) ;
	cin >> n >> m ;
	Pre() ; 
	g[0] = mod - 1 ;
	for(int S = 1; S < mx; S ++) {
		g[S] = pw[Inside[S]] ;
		for(int T = S,tmp; T ; T = (T - 1) & S) {
			num[T] = 0 ; tmp = T ; while(tmp) add(num[T] , Edge[S ^ T][pos[tmp]]) , tmp -= (1 << (pos[tmp] - 1)) ;
		}
		for(int T = S; T ; T = (T - 1) & S) 
			if(S ^ T) add(g[S] , mod - 1ll * g[T] * pw[Inside[S ^ T]] % mod * pw[num[T]] % mod) ;
	}
	for(int S = 1; S < mx; S ++) {
		for(int s1 = S; s1 ; s1 = (s1 - 1) & S) {
			if(s1 & (1 << (pos[S] - 1))) add(f[S] , 1ll * f[s1] * g[S ^ s1] % mod) ; 
		}
		add(f[S] , g[S]) ; 
	}
	cout << f[mx - 1] << endl ; return 0 ; 
}