数论总结(下)（高级数论）

#一.$BSGS$算法(大步小步算法) 求解：(a^xequiv bpmod{c}) 其中$c$为质数 我们把$x$拆为$x = im - j$。 那么：(a^xequiv bpmod{c}) ------->(a^{im-j}equiv bpmod{c}) (a^{im-j}equiv bpmod{c}) --------> (ba^jequiv a^{im}pmod{c}) 显然$m$取$sqrt$最舒服，那么令$m=sqrt$， 然后枚举$i$（(i leq sqrt{c})），把$a^$用$map$或者$hash$存起来。 这样我们再枚举$j$，只需要检查$ba^{j$是否已经存在即可， 假如存在，那么此时$x=im-j$即为方程的解。 代码参考：戳我！ #二.卢卡斯定理(Lucas) ##1.卢卡斯定理： 就一句话： (C_n^m \% p = C_{n\% p}^{m\%p}*C_{n/p}^{m/p}) 其中**$p$为质数**，一般用于计算比较大的组合数。 ##2.扩展Lucas定理： 当**$p$不为质数**的时候，先唯一分解： (p = p_1^{k_1}*p_2^{k_2}....P_n^{k_n}) 那么其实就是求解下面这个方程组中的$ans$： (ansequiv c_1pmod{p_1^{k_1}}) (ansequiv c_2pmod{p_2^{k_2}}) (......) (ansequiv c_npmod{p_n^{k_n}}) 其中$c_1$、(c_2)、(...)、$c_n$为对应$C_n}m % p_t^$的答案。 假设我们可以求得$c_1$、(c_2)、(...)、(c_n)，那么直接$CRT$一波即可得到$ans$。 所以现在问题变为求解$C_n^m%pk$。 我们知道：(C_n^m = frac{n!}{m!(n-m)!}) 所以其实我们就是要求$n! % p^{k$。这个东西这么求呢？ 首先，我们等会是要求逆元的，所以应该要先把$p$提出来，等会算完逆元后再乘回去即可。 所以我们可以把上面的$n!$拆为： (n! = p^t*lfloor frac{n}{p} floor !*G(n)) 其中$G(n)$为不是$p$倍数的数的乘积，显然$lfloor frac floor !$可以递归求解。 $p}t$是提出来的最后再一起算，所以我们只要考虑如何算$G(n)$。 观察到$G(n) % p^k$是以$pk$为周期的，所以肯定可以数论分块,分块搞一下即可。 最后考虑一下$p^{t$这一项，一个$prod_}$中约数$p$的个数为$sum_^{pr leq n} {lfloor frac{p^{r}} floor$，可以直接算出$t$。 然后就做完了，记得最后强行$CRT$一波合并$c_i$即可。 这里给出求解$C_n}m%p^k$部分的代码：

注:代码中的pk代表p^k，是事先求好了的。
LL fac(LL n,LL p,LL pk)            //计算(n!) % (p^k)
{
    if(n==0)return 1;
    LL res=1;
    for(LL i=2;i<=pk;i++)                 //求解G(n)中的整块:
        if(i%p)res=(res*i)%pk;                   
    res=pow(res,n/pk,pk);                //res = res^(n/(p^k)) //分块一波
    for(LL i=2;i<=n%pk;i++)                     
        if(i%p)res=(res*i)%pk;            //求解G(n)中的余项。
    return (res*fac(n/p,p,pk))%pk;        //递归求解。
}
LL Calc(LL n,LL m,LL p,LL pk)
{
    if(n<m)return 0;
    LL a=fac(n,p,pk),b=fac(m,p,pk),c=fac(n-m,p,pk);
    //得到了a、b、c中的G(x)与floor(n/p)!, 因为要提出p先不算所以不求解p^t
    LL k=0;
    for(LL i=n;i;i/=p)k+=i/p;                        
    for(LL i=m;i;i/=p)k-=i/p;
    for(LL i=n-m;i;i/=p)k-=i/p;            //求解C(n,m)中质因子p的个数(t)。
    LL res=(((a*inv(b,pk))%pk)*inv(c,pk))%pk * pow(p,k,pk)%pk;
    //把质因子p(p^t)乘回来
    return res;
}

#三.提取公因数 这个其实不能算是数论吧.... 但是这里列一个专题是因为它太重要了。 提取公因数与数论分块被称为数论两大套路(笔者自己yy不要管啦) 提取公因式衍生出来的是**“考虑每一项对答案的贡献”，一般涉及这种思想的题目都是非常难的。 其实具体还是要见题拆题。这里给两个例子： ###例子1 假如$a^{2-ab = E}2$ , 那么如何快速求解符合条件的$(a、b)$二元组？ (a^2-ab = a(a-b) = E^2)，所以$a=F^{2$ , (a-b=S^2) 所以$F}2-b = S^2$，即得到：(b = (F-S)(F+S))** 枚举量一下子就大幅度的减少了。 ###例子2 求解$sum_^{n sum_m gcd(i,j)$。 把$d=gcd(i,j)$给提出来。 (sum_{i=1}^n sum_{j=1}^m gcd(i,j) = sum_{d=1}^{min(n,m)}dsum_{i=1}^n sum_{j=1}^m [gcd(i,j)=d] = sum_{d=1}^{min(n,m)}dsum_{i=1}^{ lfloor frac{n}{d} floor } sum_{j=1}^{lfloor frac{m}{d} floor } [gcd(i,j)=1]) 然后至于$sum_{ lfloor frac floor } sum_}{lfloor frac floor } [gcd(i,j)=1]$怎么快速求见后面的莫比乌斯反演。 ###例子3 求解$sum_^{n phi(d) sum}{lfloor frac floor} {lfloor frac floor}$，多组数据。 令$T = id$ ， 然后把$T$给提出来。 (sum_{d=1}^n phi(d) sum^{lfloor frac{n}{d} floor}_{i=1} {lfloor frac{n}{id} floor} = sum_{T = 1}^n{lfloor frac{n}{T} floor} sum_{d|T} phi(d)) 后面的$sum{d|T} phi(d)$可以线性筛，具体见后面相关内容，从而使得询问时单组复杂度由$O(n)$变为了$O(sqrt)$ #四.莫比乌斯反演((Mobius)) 当一个函数$F(n)$很好求，而其可以写成其约数或倍数$d$的函数$f(d)$，$f(d)$很不好求时, 我们可以通过莫比乌斯反演用$F(n)$反推$f(d)$，从而实现快速求解$f(d)$。 其实就是容斥原理的体现，证明见这里 戳我! 莫比乌斯反演有两种形式： ###1.约数形式： 若有$F(n) = sum_{d|n} f(d)$ 那么$$f(n) = sum_{d|n} mu(frac)*F(d)$$ ###2.倍数形式： 若有$F(n) = sum_{n|d} f(d)$ 那么$$f(n) = sum_{n|d} mu(frac)*F(d)$$ ###3.莫比乌斯函数： 莫比乌斯函数即为$mu(d)$，定义如下： （1）若$d=1$，那么$mu(d)=1$ （2）若$d=p_1p_2p_3...p_k$，$p_1,p_2...(均为互异素数，那么)mu(d)=(-1)^k$ （3）其它情况下$mu(d)=0$ 莫比乌斯函数为积性函数，可以线性筛出，下面给出代码：

void Mobius(){
    memset(Isprime,true,sizeof(Isprime));
    mu[1] = 1; Isprime[1] = false;
    for(int i = 2; i <= n; i ++){
        if(Isprime[i]){prm[++cnt] = i; mu[i] = -1;}
        for(int j = 1; prm[j]*i<=n && j <= cnt; j ++){
            Isprime[i*prm[j]] = false;
            if(i%prm[j] == 0){mu[i*prm[j]] = 0; break;}
            else mu[i*prm[j]] = -mu[i];
        }
    }
}

###4.莫比乌斯反演与$sum [gcd(i,j)=1]$ 求解$gcd(i,j)$相关问题是莫比乌斯反演最常见的应用。 当遇到涉及莫比乌斯反演的题目时，一般也是先把其转化为求$sum_^n sum_^{m [gcd(i,j)==1]$ 下面给出求解$sum_n sum_m [gcd(i,j)==1]$$(nleq m)$的莫比乌斯反演过程： 令$f(d) = sum_n sum_m [gcd(i,j)==d]$ 然后令: (F(n) = f(d)+f(2d)+...+f(kd)=sum_{n|d} f(d)) 所以$F(d)$即表示$gcd(i,j)$为$d$的倍数的二元组的个数。 那么显然$F(d)$非常好求： (F(d) = lfloor frac{n}{d} floor * lfloor frac{m}{d} floor) 又因为$F(n) = sum_{n|d} f(d)$ 所以通过莫比乌斯反演得到: (f(n) = sum_{n|d}^{d leq n} mu(frac{d}{n})F(d)) 所以： (f(1) = sum_{i=1}^{n} mu(i)F(i) = sum_{i=1}^{n} mu(i)lfloor frac{n}{i} floor * lfloor frac{m}{i} floor) 先求一下$mu(i)$的前缀和，然后数论分块就行了。 上面得到的关系式非常重要，你甚至可以把它记下来(n<=m)： (sum_{i=1}^n sum_{j=1}^m [gcd(i,j)=1]=sum_{i=1}^{n} mu(i)lfloor frac{n}{i} floor * lfloor frac{m}{i} floor) ###5.莫比乌斯反演习题： 见莫比乌斯反演题目列表：[戳这里！] (http://www.cnblogs.com/GuessYCB/p/8277359.html) #五.积性函数线性筛 与 狄利克雷卷积 ##1.积性函数 与 线性筛 ###a.积性函数相关定义 （1）积性函数： 若存在函数$f(x)$ ,当$(x,y)=1$时 ， 满足$f(x*y)=f(x)f(y)$，则称$f(x)$为积性函数。 （2）完全积性函数： 若对于任意$x,y$，有$f(xy) = f(x)*f(y)$，则称$f(x)$为完全积性函数。 （3）常见的积性函数： 莫比乌斯函数$mu(i)$ 、 欧拉函数$phi(i)$。 ###b.积性函数的线性筛(sieve) 完全积性函数的筛法就不讲了，直接乘起来即可。 那么对于积性函数$f(x)$的线性筛，我们要求下面几个东西有定义或很好求： （1）(f(1)) （2）(f(p)) , ($p$为质数) （3）(f(p^k)) , ($p$为质数) 其中$f(1) , f(p)$一般为$O(1)$算，$f(pk)$则一般从$f(p)$推来。 那么假设我们已经求解的上面函数的取值，考虑如何筛。 由积性函数的定义我们可以知道$f(x*y)=f(x)*f(y)(的前提条件为)(x,y)=1$。 所以当我们要筛一个$f(n)$时，我们要把$n$拆为两个互质的数$x,y$的乘积。 显然最优秀的办法就是让$x$取最小值因子，把最小质因子$xk$分离出来，这样就可以套上线性筛了。 我们记$low(i)$表示$i$的最小质因子$x$的$xk$， 那么根据线性筛的原则，我们分两种情况讨论（$i,prm[j]$含义见素数线性筛）： （1）当$i%prm[j] != 0$时 这太容易了不是吗，$i$与$prm[j]$互质，直接套定义即可。 (f(i*prm[j]) = f(i)*f(prm[j]);low(i*prm[j]) = prm[j]) （2）当$i%prm[j]==0$时 首先$low(i*prm[j]) = low(i)*prm[j]$这没有什么好说的吧。 然后： 第一种情况：(low(i)=i),那么$i$是$p}k$形式，用特殊方法计算。 第二种情况：(low(i)!=i),那么我们把$prm[j]*i$拆为两个互素的数，具体为把$prm[j]$给除干净： (f(i*prm[j] = f(i / low[i]) * f(low[i]*prm[j])) 然后就没有了。 下面给出具体实现代码：

void sieve(){
    low[1] = 1; f[1] = 对f(1)的特殊定义; tot = 0;
    for(int x = 2; x <= n; x ++){
        if(!Prime[x]){prm[++tot] = x; f[x] = 对f(p)的特殊定义; low[x] = x;}
        for(int j = 1; j <= tot && x*prm[j] <= n; j ++){
            Prime[x*prm[j]] = true;
            if(x%prm[j] == 0){
                low[x*prm[j]] = low[x] * prm[j];
                if(x == low[x])
                    f[x*prm[j]] = 对f(p^k)的特殊定义;
                else
                    f[x*prm[j]] = f[x/low[x]] * f[prm[j]*low[x]];
                break;
            }
            low[x*prm[j]] = prm[j];
            f[x*prm[j]] = f[x] * f[prm[j]] % mod;
        }
    }
    return;
}

##2.狄利克雷卷积 其实懂了积性函数的线性筛之后这玩意就是来搞笑的。 对于积性函数$f(x)$与$g(x)$，它们的狄利克雷卷积也是积性函数。 其中它们的狄利克雷卷积长这样： ((f*g)(n) = sum_{d|n} f(d) g(frac{n}{d})) 狄利克雷卷积的性质： 交换律：((f*g) = (g*f)) 结合律：((f*g)*h = f*(g*h)) 狄利克雷卷积自身不难，把它当做积性函数一样的线性筛即可。 #六.杜教筛 ....还不会，到时候回来补（先去搞点其他的换脑子啦）： 留下学习资料： http://blog.csdn.net/skywalkert/article/details/50500009 http://www.cnblogs.com/zhoushuyu/p/8301660.html