哈希算法

2019.7.2

哈希算法(Hash)

通过一个哈希函数H,将一种数据转化为能够用变量表示或是直接就可作为数组下标的数，通过哈希函数转化得到的数值我们称之为哈希值。

字符串Hash

寻找长度为n的主串S中的匹配串T(长度为m)出现的位置或次数的问题属于字符串匹配问题.
1. 朴素算法(O(m))
枚举所有起始位置，直接检查是否匹配
2. 字符串Hash
比较长度为m的主串S的子串的哈希值与T的哈希值是否相等
（注：其实后面学的KMP可以解决大部分字符串Hash问题，但“从主串中选出两子串判断是否匹配”的问题例外）

一、求哈希值------滚动哈希

选取两互质常数b,h(b<h),假设字符串(C=c_1c_2······c_m)
定义哈希函数(H(C)=(c_1b^{m-1}+c_2b^{m-2}+···+c_mb^0)modh)
(相当于把字符串看作b进制数)
设H(C,k)为前k个字符构成字符串的哈希值
则：(H(C,k+1)=H(C,k)*b+C_{k-1})

例如C="ACDA"(A->1,B->2)
(H(C,1)=1)
(H(C,2)=1*b+3)
(H(C,3)=1*b^2+3*b+4)
(H(C,4)=1*b^3+3*b^2+4*b+1)
因此任意字符(C'=c_{k+1}c_{k+2}···c_{k+n})的哈希值为
（(C=c_1c_2···c_m)）

[H(C')=H(C,k+n)-H(C,k)*b^n ]

那么只要预求得(b^n)，就可用(O(1))得任意字符串的子串哈希值
整个算法时间复杂度为(O(n+m))
[！在实现算法时，利用32或64位无符号整数计算哈希值，取(h=2^{32})或(2^{64})实现自然溢出取模。]

二、字符串Hash的正确性

常常认为竞赛题目不会出现不同的字符串哈希值相等的情况。实际上根据生日悖论，对于哈希值在([0,n))内均匀分布的哈希函数出现不同字符哈希值相等的期望步数是(O(sqrt(n))).
什么是生日悖论?

措施：

用“双哈希”降低概率，取不同模数，把不同模数算出的哈希值记下来，只有几个哈希值都满足条件才判定字符串匹配。
（分别取(h=10^9+7)和(h=10^9+9),就几乎不可能发生冲突，因为它们是一对“孪生质数”。）
什么是孪生质数?