调和级数求和

调和级数求和

调和级数：(1+frac{1}{2}+frac{1}{3}+cdots+frac{1}{n})是一个发散的序列，求和公式为：

[sum^{n}_{i=1}{frac{1}{i}}=ln(n+1)+gamma ]

其中(gamma)为欧拉常数，(gammaapprox0.5772156ldots)

证明过程

1. 首先需要知道不等式(frac{1}{n+1}<ln(1+frac{1}{n})<frac{1}{n})（通过(frac{1}{lfloor x+1 floor})和(frac{1}{x})和(frac{1}{lfloor x floor})三个函数的积分就可以得出）
2. (sum^{n}_{i=1}{frac{1}{i}}=1+frac{1}{2}+cdots+frac{1}{n}>ln(1+1)+cdots+ln(1+frac{1}{n})=ln(n+1))，所以调和级数发散
3. (sum^{n}_{i=1}{frac{1}{i}}=1+frac{1}{2}+cdots+frac{1}{n}<1+ln(1+1)+cdots+ln(1+frac{1}{n-1})=1+ln(n))
4. 令(S_n=sum^{n}_{i=1}{frac{1}{i}}-ln(n)<1)，也就是说有上界
5. 且(S_{n+1}-S_n=frac{1}{n+1}-ln(frac{n}{n+1})>0)，也就是单调递增
6. 由单调有界极限定理可知(S_n)有极限，这个极限就是欧拉常数(gammaapprox0.5772156ldots)