NOIP2017PJ T4 跳房子

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题意：

给定长度为$5e5$的带权含坐标的点序列，从$0$位置向右每次隔$(d-g,d+g)$取点权（$d$给定），权值和不少于$k$，求最小的$g$。

程序1（50pt）：

对$g$在$[0,max{x_{i}-d}]$上二分。判定：定义$f_{i}$为取前$i$点的最大和，且

$ f_{i}+s_{j} o f_{j} ( j>i,x_{j}in [x_{i}+(d-g),x_{i}+(d+g)] ) $

交上去发现$T$了，一看，二分域太大。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL inf=1LL<<34;
const int N=500000;

    int n,d,x[N+3];
    LL k,s[N+3],f[N+3];
    
bool chk(int g){
    for(int i=1;i<=n;i++)
        f[i]=-inf;
    f[0]=0;
    for(int i=0;i<=n;i++)
    if(f[i]!=-inf){
        int j;
        for(j=i+1;x[j]<x[i]+(d-g)&&j<=n
                &&x[j]<=x[i]+(d+g);j++);
        for(;x[j]<=x[i]+(d+g)&&j<=n;j++)
            f[j]=max(f[j],f[i]+s[j]);
            
    }
    
    LL tmp=-inf;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        tmp=max(tmp,f[i]);
        
    return tmp>=k;
    
}

int main(){
    scanf("%d%d%lld",&n,&d,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d%lld",&x[i],&s[i]);
    x[0]=0;
    int l=0,r=x[n]-d,mid,ans=-1;
    while(l<=r){
        mid=(l+r)>>1;
        if(chk(mid)){
            ans=mid;
            r=mid-1;
            
        }
        else 
            l=mid+1;
        
    }
    
    printf("%d",ans);
    
    return 0;
    
}

程序2（90pt）：

考虑以保证对于每两点间距离能跳过去作为二分边界，交上去证明我错了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL inf=1LL<<62;
const int N=500000;

    int n,d,x[N+3];
    LL k,s[N+3],f[N+3];
    
bool chk(int g){
    for(int i=1;i<=n;i++)
        f[i]=-inf;
    f[0]=0;
    for(int i=0;i<=n;i++)
    if(f[i]!=-inf){
        int j;
        for(j=i+1;x[j]<x[i]+(d-g)&&j<=n
                &&x[j]<=x[i]+(d+g);j++);
        for(;x[j]<=x[i]+(d+g)&&j<=n;j++)
            f[j]=max(f[j],f[i]+s[j]);
            
    }
    
    LL tmp=-inf;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        tmp=max(tmp,f[i]);
        
    return tmp>=k;
    
}

int main(){
    scanf("%d%d%lld",&n,&d,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d%lld",&x[i],&s[i]);
        
    int maxd=x[1];
    for(int i=2;i<=n;i++)
        maxd=max(maxd,x[i]-x[i-1]);
    
    x[0]=0;
    int l=0,r=maxd,mid,ans=-1;
    while(l<=r){
        mid=(l+r)>>1;
        if(chk(mid)){
            ans=mid;
            r=mid-1;
            
        }
        else 
            l=mid+1;
        
    }
    
    printf("%d",ans);
    
    return 0;
    
}

程序3（100pt）：

思考一下，发现权值和不能达到$k$的等价条件是正权和小于$k$，于是可以在二分之前排除掉不合法的情况。

思考一下，发现负权点对于确定$g$的最大值是没有贡献的，于是考虑以保证能跳过每两个正权点间距离作为二分边界，再重构一下DP代码，交上去过了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL inf=1LL<<62;
const int N=500000;

    int n,d,x[N+3];
    LL k,s[N+3],f[N+3];
    
bool chk(int g){
    for(int i=1;i<=n;i++)
        f[i]=-inf;
    f[0]=0;
    for(int i=0;i<=n;i++)
    if(f[i]!=-inf){
        for(int j=i+1;j<=n;j++){
            if(x[j]<x[i]+(d-g))
                continue;
            if(x[j]>x[i]+(d+g))
                break;
            f[j]=max(f[j],f[i]+s[j]);
            
            if(f[j]>=k)
                return true;
            
        }
            
    }
        
    return false;
    
}

int main(){
    scanf("%d%d%lld",&n,&d,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d%lld",&x[i],&s[i]);
        
    int pre=0,maxd=0;
    LL sum=0;
    x[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    if(s[i]>0){
        sum+=s[i];
        maxd=max(maxd,x[i]-x[pre]);
        pre=i;
        
    }
    
    if(sum<k){
        printf("-1");
        return 0;
        
    }
    
    int l=0,r=maxd,mid,ans=-1;
    while(l<=r){
        mid=(l+r)>>1;
        if(chk(mid)){
            ans=mid;
            r=mid-1;
            
        }
        else 
            l=mid+1;
        
    }
    
    printf("%d",ans);
    
    return 0;
    
}

小结：

DP是最简单的DP，二分也没有什么骚操作，就是边界这种东西……

好像摸到一点意思：求最大和的时候，负权对于答案的最低要求没有贡献，所以二分上界是要确保能取到所有正权。

也就是说，“最优答案”和“合法答案/最低要求/搜索边界”需要的数据不太一样，经常会用贪心思路找边界。

（错了再改）