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设$a_i$上一次出现的位置为$p_{a_i}$。设$g(r)=sumlimits_{l=1}^r f^2(l,r)$。
考虑移动右端点,每次累加相同右端点所有区间的答案,发现移动右端点时新增的$a_r$会使左端点属于$(p_{a_r},r]$的$f(l,r)$加一。
那么$$g(r)-g(r-1)=sum_{l=p_{a_r}+1}^r( (f(l,r)+1)^2-f(l,r) )=sum_l(2 imes f(l,r)+1)=2sum_lf(l,r)+r-p_{a_r}$$
我们需要一个数据结构,支持区间加,查询区间和。用树状数组能更好地避免被卡常。
关于支持用树状数组维护区间加以及查询区间和的式子:$$sum a_i=sum_{i=1}^nsum_{j=1}^i c_j=sum_{i=1}^n(n-i+1) imes c_i=(n+1) imessum_{i+1}^n c_i-i imessum_{i=1}^n c_i$$
则使用两个数组,一个是差分数组的树状数组,一个是差分数值乘上下标的树状数组。
注意:一个修改/查询操作(即加一趟$lowbit$)对应修改/查询差分数组的一个元素,而不是一组元素。谨记!
程序(100分):
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#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<cmath> #include<algorithm> #include<vector> #include<queue> #include<map> #include<set> #define IL inline #define RG register #define _1 first #define _2 second using namespace std; typedef long long LL; const int N=1e6; const LL mod=1e9+7; IL LL add(LL x,LL y){return (x+y)%mod;} IL LL mul(LL x,LL y){return x*y%mod;} IL LL mns(LL x,LL y){return (x+mod-y)%mod;} IL void fadd(LL &x,LL y){x=add(x,y);} IL void fmul(LL &x,LL y){x=mul(x,y);} int n,a[N+3],p[N+3]; IL int bsch(int l,int r,int x){ int mid,ans; while(l<=r){ mid=(l+r)>>1; if(x<=p[mid]){ r=mid-1; ans=mid; } else l=mid+1; } return ans; } IL void discrete(){ memcpy(p,a,sizeof a); sort(p+1,p+n+1); int m=1; for(int i=2;i<=n;i++) if(p[i]!=p[i-1]) p[++m]=p[i]; for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=bsch(1,m,a[i]); } LL c1[N+3],c2[N+3]; IL int lowbit(int x){ return x&(-x); } IL void mdf(int p,LL x){ for(int i=p;i<=n;i+=lowbit(i)){ fadd(c1[i],x); fadd(c2[i],1LL*x*p); } } IL void mdf(int l,int r,LL x){ mdf(l,x); mdf(r+1,-x); } IL LL qry(int p){ LL ret=0; for(int i=p;i;i-=lowbit(i)) fadd(ret,mns( mul(p+1,c1[i]) , c2[i] )); return ret; } IL LL qry(int l,int r){ return mns(qry(r),qry(l-1)); } LL sum,ans; int main(){ scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]); discrete(); memset(c1,0,sizeof c1); memset(c2,0,sizeof c2); memset(p,0,sizeof p); sum=ans=0; for(int i=1;i<=n;i++){ fadd(sum,add(mul(2LL,qry(p[a[i]]+1,i)),mns(i,p[a[i]]))); fadd(ans,sum); mdf(p[a[i]]+1,i,1); p[a[i]]=i; } printf("%lld",ans); return 0; }