逆序对数列（DP+前缀和）

又是DP又是前缀和，小白做题太慢了/(ㄒoㄒ)/~~
洛谷P2513,Acwing2692

题目

对于一个数列 {ai}，如果有 i<j 且 ai>aj，那么我们称 ai 与 aj 为一对逆序对数。
若对于任意一个由 1∼n 自然数组成的数列，可以很容易求出有多少个逆序对数。
那么逆序对数为 k 的这样自然数数列到底有多少个？

输入输出

输入：共一行，两个整数 n,k。
输出：输出一个整数，表示符合条件的数列个数，由于这个数可能很大，你只需输出该数对 10000 求余数后的结果。

思路

求1-n的全排列中逆序对数为k的排序，可用动态规划来做。
动态规划数组：dp[i][j]（0 <= j <= k）为1-i个数的全排列中逆序对数为j的方案数。
可以由1-（i-1）得出的结果来推断 1-i的结果
将i插入1-（i-1）的排列中，会增加逆序对
动态规划的初始化结果为dp[i][0] = 1
考虑i放置的位置，放i-1个位置都能增加逆序对数量
当i插在1-（i-1）的排列最后一个位置时，没有增加逆序对数，dp[i][j] += dp[i-1][j]
当i插在1-（i-1）的排列倒数第二个位置时，增加了一个逆序对数，dp[i][j] += dp[i-1][j-1]
......
当i插在1-（i-1）的排列倒数第m个位置时，增加了m-1个逆序对数，dp[i][j] += dp[i-1][j-m+1]
......
当i插在1-（i-1）的排列倒数第j+1个位置时，增加了j个逆序对数，dp[i][j] += dp[i-1][0]
注意：i最多能在1-（i-1）的序列上贡献i-1个逆序对
当j>=i-1时，dp[i][j]不能加上 dp[i-1][0-（j-i+1]这一段
时间复杂度：不经任何优化的时间复杂度是O(n^3),会超时

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;
int dp[N][N];

int main()
{
    int n,k;
    cin >> n >> k;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) dp[i][0] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i ++ ){ //枚举n个数
        for(int j = 1;j <= k;j ++){  //枚举逆序对的个数
            for(int m = max(0,j-i+1);m <=j;m++){
                dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i-1][m])%10000;
            }
        }
    }
    cout << dp[n][k];
}

用前缀和优化

上述算法时间复杂度：不经任何优化的时间复杂度是O(n^3),会超时
用sum记录dp[i-1][j]，前j个之和，并当j>=i-1时，sum减去dp[i-1][j-i+1]，相当于上面那种算法，没有把dp[i-1][0-（j-i+1]这一段算进去。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;
int dp[N][N];

int main()
{
    int n,k;
    cin >> n >> k;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) dp[i][0] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i ++ ){ //枚举n个数
        int sum = 0;
        for(int j = 0;j <= k;j ++){  //枚举逆序对的个数
            sum = (sum + dp[i-1][j]) % 10000;
            dp[i][j] = sum;
            if(j >= i - 1)
                sum = (sum - dp[i-1][j-i+1] + 10000) % 10000;
        }
    }
    cout << dp[n][k];
}