[BZOJ4897][THUSC2016]成绩单(DP)

4897: [Thu Summer Camp2016]成绩单

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Description

期末考试结束了，班主任L老师要将成绩单分发到每位同学手中。L老师共有n份成绩单，按照编号从1到n的顺序叠

放在桌子上，其中编号为i的成绩单分数为w_i。成绩单是按照批次发放的。发放成绩单时，L老师会从当前的一叠

成绩单中抽取连续的一段，让这些同学来领取自己的成绩单。当这批同学领取完毕后，L老师再从剩余的成绩单中

抽取连续的一段，供下一批同学领取。经过若干批次的领取后，成绩单将被全部发放到同学手中。然而，分发成绩

单是一件令人头痛的事情，一方面要照顾同学们的心理情绪，不能让分数相差太远的同学在同一批领取成绩单；另

一方面要考虑时间成本，尽量减少领取成绩单的批次数。对于一个分发成绩单的方案，我们定义其代价为：

其中，k是方案中分发成绩单的批次数，对于第i批分发的成绩单，〖max〗_i是最高分数，〖min〗_i是最低分数。

a,b是给定的评估参数。现在，请你帮助L老师找到代价最小的分发成绩单的方案，并将这个最小的代价告诉L老师

。当然，分发成绩单的批次数k是由你决定的。

 

Input

第一行包含一个正整数n，表示成绩单的数量。

第二行包含两个非负整数a,b，表示给定的评估参数。

第三行包含n个正整数w_i，表示第i张成绩单上的分数。

 

Output

仅一个正整数，表示最小的代价是多少。

 

Sample Input

10
3 1
7 10 9 10 6 7 10 7 1 2

Sample Output

15
【样例数据说明】
第1批：第2至4份成绩单，落差值为1，剩余成绩单为76710712；
第2批：第4份成绩单，落差值为0，剩余成绩单为767712；
第3批：第1至4份成绩单，落差值为1，剩余成绩单为12；
第4批：剩余的2份成绩单，落差值为1。
总代价为4×3+(1^2+0^2+1^2+1^2)×1=15。

HINT

 

 n<=50, a<=100, b<=10, w_i<=1000

 

Source

鸣谢Sengxian上传

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应该是很久之前就有的原题，好像还是DP入门题，但是并不好想。

明显的区间DP，f[i][j]表示i到j的最小代价。

发现无法直接转移，考虑加上辅助数组。注意到每次操作的代价只与max-min有关，且数据范围中数值最大值很小，可以判断新数组与max和min有关。

设f[i][j][l][r]表示在[i,j]区间中，最后一次取的子序列的数值范围在[l,r]中（且最后一次取的子序列包含j）的方案数。

f的转移可以考虑最后一个数和哪些序列一起被删除（显然在此区间中最后一个数一定是最后一个被删的）。

g的转移可以考虑最后一次操作的子序列最后一个数是哪个，直接暴力转移即可。复杂度$O(n^5)$

#include<map>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++)
typedef long long ll;
using namespace std;

const int N=52;
int n,A,B,mx,a[N],b[N],f[N][N][N][N],g[N][N],d[N],s[N];
map<int,int>h;

int main(){
    freopen("bzoj4897.in","r",stdin);
    freopen("bzoj4897.out","w",stdout);
    scanf("%d%d%d",&n,&A,&B);
    rep(i,1,n) scanf("%d",&a[i]),d[i]=a[i];
    sort(d+1,d+n+1);
    rep(i,1,n) if (d[i]!=d[i-1] || i==1) s[h[d[i]]=++mx]=d[i];
    rep(i,1,n) b[i]=h[a[i]];
    memset(f,0x3f,sizeof(f)); memset(g,0x3f,sizeof(g));
    rep(i,1,n) f[i][i][b[i]][b[i]]=0,g[i][i]=A,g[i][i-1]=0;
    g[n+1][n]=0;
    rep(L,2,n)
        for (int l=1,r; (r=l+L-1)<=n; l++){
            f[l][r][b[r]][b[r]]=g[l][r-1];
            rep(i,l,r-1) rep(j,1,mx) rep(k,j,mx){
                int tj=min(j,b[r]),tk=max(k,b[r]);
                f[l][r][tj][tk]=min(f[l][r][tj][tk],f[l][i][j][k]+g[i+1][r-1]);
            }
            rep(i,l,r) rep(j,1,mx) rep(k,j,mx)
                g[l][r]=min(g[l][r],f[l][i][j][k]+g[i+1][r]+A+B*(s[k]-s[j])*(s[k]-s[j]));
        }
    printf("%d
",g[1][n]);
    return 0;
}