[NOI2018]屠龙勇士 excrt

题目描述

小D 最近在网上发现了一款小游戏。游戏的规则如下：

游戏的目标是按照编号1~n 顺序杀掉n 条巨龙，每条巨龙拥有一个初始的生命 值ai 。同时每条巨龙拥有恢复能力，当其使用恢复能力时，它的生命值就会每 次增加 pi ，直至生命值非负。只有在攻击结束后且当生命值恰. 好. 为 0 时它才会 死去。

游戏开始时玩家拥有m 把攻击力已知的剑，每次面对巨龙时，玩家只能选择一 把剑，当杀死巨龙后这把剑就会消失，但作为奖励，玩家会获得全新的一把剑。 小D 觉得这款游戏十分无聊，但最快通关的玩家可以获得ION2018 的参赛资格， 于是小D 决定写一个笨笨的机器人帮她通关这款游戏，她写的机器人遵循以下规则：

每次面对巨龙时，机器人会选择当前拥有的，攻击力不高于巨龙初始生命值中攻击力最大的一把剑作为武器。如果没有这样的剑，则选择攻. 击. 力. 最. 低. 的一把剑作为武器。

机器人面对每条巨龙，它都会使用上一步中选择的剑攻击巨龙固. 定. 的. x 次，使巨龙的生命值减少 x×ATKx \times ATKx×ATK 。

之后，巨龙会不断使用恢复能力，每次恢复pi 生命值。若在使用恢复能力前或 某一次恢复后其生命值为0 ，则巨龙死亡，玩家通过本关。

那么显然机器人的攻击次数是决定能否最快通关这款游戏的关键。小 D 现在得知了每条巨龙的所有属性，她想考考你，你知道应该将机器人的攻击次数x 设置为多少，才能用最少的攻击次数通关游戏吗？

当然如果无论设置成多少都无法通关游戏，输出-1 即可。

输入输出格式

输入格式：

从文件dragon.in 中读入数据。

第一行一个整数T ，代表数据组数。

接下来T 组数据，每组数据包含5 行。

每组数据的第一行包含两个整数，n 和m ，代表巨龙的数量和初始剑的数量;

接下来一行包含n 个正整数，第i 个数表示第i 条巨龙的初始生命值ai ;

接下来一行包含n 个正整数，第i 个数表示第i 条巨龙的恢复能力pi ;

接下来一行包含n 个正整数，第i 个数表示杀死第i 条巨龙后奖励的剑的攻击力;

接下来一行包含m 个正整数，表示初始拥有的m 把剑的攻击力。

输出格式：

输出到文件dragon.out 中。 一共T 行。

第i 行一个整数，表示对于第i 组数据，能够使得机器人通关游戏的最小攻击次数x ，如果答案不存在，输出-1。

---

题解

1. x和p不互质，不能求逆元？？？所以直接用带参数的同余方程 $$b_ix\equiv a_i\mod p_i$$ 令\(g=gcd(b_i,p_i),x_0\)为该方程的一个特解，则最后\(x_0\)一定要模\(p_i/g\)而不是直接模\(p_i\)
2. 数据范围是\(10^{12}\)直接用\(long\ long\)的话，中间结果可能会爆炸，所以要拆开来乘。
3. 注意取最小正整数

#include<bits/stdc++.h>
#define REP(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
#define DEC(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);--i)
#define dbg(...) fprintf(stderr,__VA_ARGS__)
using namespace std;
template<typename T,typename U> inline bool smax(T&x,const U&y){return y>x?(x=y,1):0;}
template<typename T,typename U> inline bool smin(T&x,const U&y){return y<x?(x=y,1):0;}
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
#define pb push_back
#define X first
#define Y second
template<typename T>
inline void rd(T&w){
    char c;
    while(!isdigit(c=getchar()));w=c-48;
    while(isdigit(c=getchar()))w=w*10+c-48;
}
const int N=2e5+5;
int n,m;
ll a[N],p[N],b[N],minx,tmp;
inline ll mul(ll x,ll y,ll p){
	if(x>=p)x%=p;if(y>=p)y%=p;
	if(x<=1e9&&y<=1e9)return x*y%p;
	ll ans=0,tmp;
	while(y){
		if(tmp=y%10000)ans=(ans+x*tmp%p)%p;
		x=x*10000%p;y/=10000;
	}
	return ans;
}
inline ll gcd(ll a,ll b,ll&x,ll&y){
	if(!b)return x=1,y=0,a;
	ll d=gcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;
	return d;
}
inline void write(ll x){
	static char st[25];
	int top=0;
	while(x)st[++top]=x%10+'0',x/=10;
	while(top)putchar(st[top--]);
	putchar('\n');
}
multiset<ll> s;
multiset<ll>::iterator it;
int main(){
//	freopen("dragon.in","r",stdin);
//	freopen("dragon.out","w",stdout);
	int T;rd(T);
	while(T--){
		rd(n),rd(m);s.clear();minx=0;
		REP(i,1,n)rd(a[i]);
		REP(i,1,n)rd(p[i]);
		REP(i,1,n)rd(b[i]);
		REP(i,1,m)rd(tmp),s.insert(tmp);
		ll x,y;
		REP(i,1,n){
			it=s.upper_bound(a[i]);if(it!=s.begin())--it;
			smax(minx,(a[i]-1)/(*it)+1);a[i]%=p[i];
			s.insert(b[i]);
			b[i]=*it;
			s.erase(it);
		}
		ll g=gcd(b[1],p[1],x,y),k,now;
		bool f=1;
		if(a[1]%g)f=0;else now=mul(a[1]/g,x,k=p[1]/g);
		if(f)REP(i,2,n){
			ll&m=p[i];
			g=gcd(k%m*b[i]%m,m,x,y);
			a[i]=(a[i]-b[i]*now%m+m)%m;
			if(a[i]%g){f=0;break;}
			tmp=m/g;x=mul(a[i]/g,x,tmp);
			now+=x*k;k*=tmp;
			now=(now%k+k)%k;
		}
		
		if(f){
			now=minx/k*k+now;
			write(now>=minx?now:now+k);
		}else puts("-1");
	}
	return 0;
}