POJ 1159 (DP)

题目：http://poj.org/problem?id=1159

思路:

找出原串的最长回文子串，当然这里说的回文子串可以不连续。用原串的长度减去最长回文子串的长度即可得出结果。

设原串a[5001],它的反串为b[5001],求出a和b的最长公共子串的长度（可以不连续），即为回文子串的长度。再用原串长度减去回文子串的长度即可。

用动态规划求公共子串的长度，m[5001][5001]打表。m[i][j]表示原串a第1个到第i个和反串b第1个到第j个的最长公共子串的长度。所以有两种情况：

(1)当a[i] = b[j]时，m[i][j]=m[i-1][j-1] + 1;

(2) a[i] != b[j]时，m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i][j-1])。

 所以m[len][len]就是最长公共子串的长度。（len为原串的长度）

 

 

算法正确性证明：

比如abcdb，最长回文串是bcb或bdb，长度是3，5-3=2，所以只需插入2个即可。为什么呢？？？

    因为回文串有两种形式aba或者abba,我们暂且把后面那两个b看成是一个，这个没关系的，便于解释。那么一个字符串就分成了两类字符了，一个是回文串，一个是非回文串，假设把回文串的中间那个字符记成b，那么b左边的非回文串和b右边的非回文串就不可能有交集（如果有，那交集部分就会归并到回文串里），所以只需要在左边对称位置插入b右边的非回文字符，在右边插入b左边的非回文字符。所以要插入的字符个数就是非回文字符的个数，非回文字符就是回文字符串对原字符串的补集，故原串长度减去回文串长度即可得解。

代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#define N 5001

char a[N],b[N];

unsigned short m[N][N];

int main()
{
   int len,i,j,t;
   
      while(scanf("%d",&len) != EOF )
      {
         scanf("%s",a);                       
         t = len -1;
         for(i = len-1; i >= 0 ; --i)
          b[t-i] = a[i] ;
         
         for(i = 1 ; i <= len ; ++i)
         for(j = 0 ; j < i ; ++j)   
         m[i][j] = m[j][i] = 0;
         
         for(i = 0 ; i <= len ; ++i)
         m[i][i] = 0;
         
         for(i = 1 ; i <= len ; ++i)
         {
               for(j = 1 ; j <= len ; ++j)
               {
                     if(a[i-1] == b[j-1])
                      m[i][j] = m[i-1][j-1] + 1;
                     else
                      m[i][j] = m[i-1][j] > m[i][j-1] ? m[i-1][j]:m[i][j-1];
               }
         }
         
         printf("%d\n",len - m[len][len]);
                      
      } 
    
  // system("pause");
   return 0;
}

开始用 int m[N][N]; 超内存了！用unsigned short 就AC了。

看discuss，人家用滚动数组！汗，落伍了。第一次听说这玩意，于是诚信学习了啊！

先贴个最简单的滚动数组的应用：（求Fabonacci数列的第100个数）

int d[3];
d[0]=1;d[1]=1;
for(i=2;i<100;i++)
d[i%3]=d[(i-1)%3]+d[(i-2)%3];
printf("%d",d[99%3]);
注意上面的运算，我们只留了最近的3个解，数组好象在“滚动‿一样，所以叫滚动数组。

好了，这个题就可以用滚动数组+DP AC了。用一个二位的数组m[2][N]。列可以往后展开，行不停的滚动，

滚动方式： i%2,(i-1)%2

代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#define N 5001

unsigned short m[2][N];
char a[N],b[N];

int main()
{
   int len,i,j,t;
   
      while(scanf("%d",&len) != EOF )
      {
         scanf("%s",a);                       
         t = len -1;
         for(i = len-1; i >= 0 ; --i)
          b[t-i] = a[i] ;
         
         for(i = 0 ; i <= len ; ++i)   
         m[0][i] = m[1][i] = 0;
        
         for(i = 1 ; i <= len ; ++i)
         {
               for(j = 1 ; j <= len ; ++j)
               {
                     if(a[i-1] == b[j-1])
                      m[i%2][j] = m[(i-1)%2][j-1] + 1;
                     else
                      m[i%2][j] = m[(i-1)%2][j] > m[i%2][j-1] ? m[(i-1)%2][j]:m[i%2][j-1];
               }
         }
         
         printf("%d\n",len - m[len%2][len]);               
      } 
    
   //system("pause");
   return 0;
}