洛谷P5576 [CmdOI2019]口头禅(字符串)

洛谷P5576 [CmdOI2019]口头禅(字符串)

题目描述

蒟蒻出题人收集了某位大佬的(n)条语录,并按照时间排序,编号为(1...n)。

他发现这位大佬的口头禅是随着时间而变化的,而且里面有些看不懂的内容。

在请教了群DS带师之后,他得到了某种hash方法,把这些语录都变成了01串,这样好懂一些。

为了研究水群的奥秘,他进行了多次询问:([l,r])之间的所有语录,最长公共子串的长度是多少?

数据范围

subtask编号	n	m	语录总长	分值
1	50	50	500	10
2	50	50	80000	15
3	2000	10000	160000	15
4	20000	(10^5)	400000	15
5	20000	(10^5)	400000	45

对于subtask4 : 语录生成后,之间的顺序经过随机打乱。

对于subtask5 : 空间限制为50Mb,其他的数据为500Mb

解题思路

后缀自动机

首先先膜出题人 @command_block

很神奇的思路

首先要会用后缀自动机来求多串的最长公共字串

两个做法，一个是对一个字符串建后缀自动机，然后将其他串在上面打标记，记录匹配到节点 x 的最长长度是多少，另一个方法是选一个字符串 S，剩下的分别建后缀自动机，然后这个字符串分别在其他串上跑，记录 (f[x]) 表示 S[1...x] 能够匹配的最长后缀是多少。本题两种方法均可。

那么神仙的分治就来了

倍增分治

对于一个区间，将长度小于等于 (2^x) 的串提出来进行分治，直到子区间没有这样的串为止，这时候我们 ++x 继续此过程

显然我们有一个 x 最大深度是 (log N) 的，又一共有 (log N) 个 x，总分治深度是 (log^2 N)，但实际上并跑不满

为什么要这么分治，显然我们使用后缀自动机时选出的字符串大小越小越好，这样我们才能方便的记录前缀信息和后缀信息，否则空间都开不下

询问答案

考虑跨过区间 mid 的答案，记录从 mid 开始的前缀 f 和后缀 f，查询时合并答案即可

时间复杂度证明

考虑区间字符串长度总和为 len，区间长度为 k，最小的串长度则不超过 (frac {len}k)

扫一遍此区间的复杂度为 (Theta(k * frac {len}k) = Theta(len))，所以分治扫所有的区间记录前缀后缀时间复杂度是 (Theta(lenlog^2N))

如果串长小于 (frac {len}{sqrt m})，有复杂度 (Theta(lensqrt m))

如果串长大于 (frac {len}{sqrt m}) 则无法保证复杂度，但很好的发现 k 小于 (sqrt m)，想一想，为什么，也就是本质不同区间有 (k^2) 个，记忆化一下可以得到 (Theta(mlog m+k^2*frac {len}{k}) = Theta(mlog m+len*k))

代码就先不放了

另一种思路-SA做法

这题 SA 被卡空间了，所以我懒了还没有写，但不妨作为一种启发，如果有 dalao 发现了什么问题欢迎来踩和讨论，毕竟我只是口胡

感谢 @z7z_eta 的帮助

SA求多串最长公共子串

看到这题你应该有些基础，我就稍微简略些吧

将所有串首尾相连拼起来求 SA 数组，将 height 数组看成隔板，从大到小拆，直到所有串的后缀均在某一个区间内出现，这个 height 就是答案

如何看所有串均出现在某一个区间呢

set 启发式合并

每个位置开个 set，维护当前联通块的 “颜色” （每个原串是一种颜色）集合，当然我们维护区间会好一些，比如 2，3，4，5 颜色可以直接压成 [2，5]，在用上启发式合并就可以 (Theta(Nlog^2N)) 的维护了，注意启发式合并时不要看 set 的 size 而是颜色的个数

在本题中可以发现如果颜色区间 [l, r] 被某一次包含就是答案了，问题又来了，如何看 [l, r] 最早什么时候被包含呢

扫描线

不妨将区间看成二维平面上的点 （L, R)，那么在 set 中合并时比如有 ([1, 3], [5,6])，这时新插入一个区间 ([4,4])，会使 set 中的区间融合 ([1,6])，那么新的大区间所包含的所有小区间答案和当前的答案取 max 就行了，那么 ([1, 6]) 可以看成二维平面上的一个矩形 ([1,6],[1,6])，对里面的点取 max 即可，发现所有的点都在 (y = x) 的上方，矩形可以换成 ([1,+infty],[-infty,6])，这样扫描线加树状数组即可维护，单独是 (Theta(nlog n)) 的，但事实上启发式合并会产生 (Theta(nlog n)) 个矩形，所以总复杂度 (Theta(n log^2n))

时间复杂度 (Theta(lenlog len+lenlog^2 n+n log^2 n))，空间复杂度 (Theta(n log n))

这个做法比较好想，但应该没有 sam 快，但那个太难想了啊