数据结构与算法分析 学习笔记(5)

堆是一颗被完全填满的二叉树，有可能的例外是在底层，底层的元素被从左到右被填满；

一颗高为h的完全二叉树有2^h到2^h+1-1个节点；完全二叉树的高是¸logN¸；

因为完全二叉树很有规律，所以它可以用一个数组表示而不需要指针。对于数组实现上，任一位置i上的元素，其左儿子在2i上，右儿子在2i+1中，它的父亲在¸i/2¸上。

一个堆结构将由一个数组，一个代表最大值的整数以及当前的堆大小组成。

  

//优先队列的声明
#ifndef _BinHeap_H

struct HeapStruct;
typedef struct HeapStruct *PriorityQueue;
PriorityQueue Initialize(int MaxElements);
void Destroy(PriorityQueue H);
void MakeEmpty(PriorityQueue H);
void Insert(ElementType X,PriorityQueue H);
ElementType DeleteMin(PriorityQueue H);
ElementType FindMin(PriorityQueue H);
int IsEmpty(PriorityQueue H);
int IsFull(PriorityQueue H);

#endif

struct HeapStruct
{
    int Capacity;
    int Size;
    ElementType *Elements;
};
//初始化
PriorityQueue Initialize(int MaxElements)
{
    PriorityQueue H;
    if(MaxElements<MinPQsize)
        Erro("Priority Queue Size is too small");
    H=malloc(Sizeof(struct HeapStruct));
    if(NULL==H)
        FataErro("Out of space!");
    H->Elements=malloc((MaxElements+1)*sizeof(ElementType));
    if(H->Element==NULL)
        FataErro("Out of Space~");
    H->Capacity=MaxElements;
    H->Size=0;
    H->Element[0]=MinData;
    
    return H;
}

//插入过程
void Insert(ElementType X,PriorityQueue H)
{
    int i;
    if(IsFull(H))
    {
        Error("Priority queue is full");
        return ;
    }
    for(i=++H->Size;H->Elements[i/2]>X;i=i/2)
        H->Elements[i]=H->Elements[i/2];
    H->Elements[i]=X;
}
//删除最小过程
ElementType DeleteMin(PriorityQueue H)
{
    int i,child;
    ElementType MinElement,LastElement;
    if(IsEmpty(H))
    {
        Error("priority queue is empty");
        return H->Elements[0];
    }
    MinElements=H->Elements[1];
    LastElement=H->Elements[H->Size--];
    for(i=1;i*2<=H-Size;i=child)
    {
        Child=i*2;
        if(Child!=H->Size&&H->Elements[Child+1]<H->Elements[Child])
        Child++;
        if(LastElement>H->Elements[Child])
            H->Elements[i]=H->Elements[Child];
        else
            break;
    }
    H->ELements[i]=LastElement;
    return MinElement;
}

定理：包含2^h+1-1个节点高位h的理想二叉树的节点高度的和为2^h+1-1-(h+1)。

典型利用：

选择问题：输入N个元素以及整数K，这N个元素的集可以是全序的，找出第K个最大的元素；

算法一、

　　把这些元素排序，返回第K个值,通过各种排序算法;

算法二、

　　将K个元素读入数组，并将其排序，从大到小，最小的元素在第K个位置上。然后一个一个处理剩余的元素。当一个元素处理时，它先与数组中的第K个数比较，如果该元素大，将第K个数删除，将它插入到剩余的K-1个队列中，算法结束时，数组上第K个位置上的元素就为所求；该算法的时间复杂度为O（N*K）；

     注意：对于任意的K,我们可以求解对称问题，找出第（N-K+1）个最小元素。从而中位数K=N/2是时间使用最多的所求元素；

算法三、

　　将N个元素建堆，执行K次DeleteMax操作。