数据结构与算法分析 学习笔记(7)

图

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如果在一个无向图中从每一个顶点到每个其他顶点都存在一条路径，则称该无向图是连通的。具有这样性质的有向图是强连通的。

图的两种表示方法邻接矩阵和邻接表的方法适用于稠密图和稀疏图；

 拓扑排序不是唯一的，任意合理的排序都是可以的；

简单的求拓扑的算法是：先找出任意一个没有入边的顶点，然后显示出该顶点，并将它和它的边一起从图中删除，然后，我们对图的其余部分应用同样的方法处理。

//简单的拓扑排序的伪码
void TopSort(Graph G)
{
    int Counter;
    Vertex V,W;
    for(Counter=0;Counter<NumVertex;Counter++)
        {
            V=FindNewVertexOfIndegreeZero();
            if(V==NotAVertex)//如果没有入度为0的节点
            {
                Error("Graph has a cycle");
                break;
            }
            TopNum[V]=Couner;
            for each W adjacent to V
                Indegree[W]--;
        }
}
//该算法寻找入度为0的节点是对Indegree数组的扫描，一共有v次这样的调用，所以时间复杂度为O(V2)；
//通过改变保存入度为0节点的改造，加入队列，提高效率；
void TopSort(Graph G)
{
    Queue Q;
    int Counter=0;
    Vertex V,W;
    Q=CreateQueue(NumVertex);
    MakeEmpty(Q);
    for each Vertex V
        if(Indegree[V]==0)
            EnQueue(V,Q);
    while(!IsEmpty(Q))
        {
            V=Dequeue(Q);
            TopNum[V]=++Counter;
            for each W adjacent to V
                if(--Indegree[w]==0)
                    Enqueue(W,Q);
        }
    if(Counter!=NumVertex)
        Error("has a cycle");
    DisposeQueue(Q);
}
//如果使用邻接表，那么执行此算法的时间是O（E+V）

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最短路径算法

给定一个赋权图G=（V,E）和一个顶点S作为输入，找出S到G中每个其他顶点的最短路径；

 当前还不存在找出从S到一个顶点的路径比找出S到所有顶点路径更快的算法；

广度优先遍历算法：距开始点最近的那些顶点首先被赋值，而最远的那些顶点最后被赋值。类似于树的层次遍历；

//无权最短路算法的伪代码
void Unweight(Table T)//T has been initialized
{
    int CurrDist;
    Vertex V,W;
    for(CurrDist=0;CurrDist<NumVertex;CurrDist++)
        for each vertex V
            if(!T[V].Known&&T[V].Dist==CurrDist)
                {
                    T[V].Known=True;
                    for each W adjacent to V
                    if(T[W].Dist==Infinity)
                    {
                        T[W].Dist=CurrDist+1;
                        T[W].Path=V;
                    }
                }
}

使用邻接表，运行时间是O(E+V)；

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解决单源最短路径问题的一般方法叫做Dijskstra算法；（类似贪婪算法）