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题目信息

• 时间： 2019-06-30

• 题目链接：Leetcode

• tag： 动态规划 分治法

• 难易程度：简单

• 题目描述：

  输入一个整型数组，数组里有正数也有负数。数组中的一个或连续多个整数组成一个子数组。求所有子数组的和的最大值。

  要求时间复杂度为O(n)。

示例:

输入: nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

提示

1. 1 <= arr.length <= 10^5
2. -100 <= arr[i] <= 100

解题思路

本题难点

常见解法	时间复杂度	空间复杂度
暴力搜索	O(N^2)	O(1)
分治思想	O(NlogN)	O(logN)
动态规划	O(N)	O(1)

具体思路

动态规划

• 状态定义：设动态规划列表 dp ，dp[i]]代表以元素 nums[i] 为结尾的连续子数组最大和。
• 转移方程： 若 dp[i−1]≤0 ，说明 dp[i−1] 对 dp[i] 产生负贡献，即 dp[i−1]+nums[i] 还不如 nums[i] 本身大。
  • 当dp[i-1]>0时，执行dp[i]=dp[i-1] + nums[i]
  • 当dp[i-1]<0时，执行dp[i]=nums[i]
• 初始状态：dp[0] = nums[0]

代码

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        if(nums == null || nums.length == 0){
            return 0;
        }
        int sum = nums[0];
        int former = 0;//用于记录dp[i-1]的值，对于dp[0]而言，其前面的dp[-1]=0
        int cur= nums[0];//用于记录dp[i]的值
        for(int num: nums){
            if(former <= 0){
                cur = num;
            }
            if(former > 0){
                cur = former + num;
            }//这两句话等同于 cur = Math.max(former,0) + num;                
            former = cur;
            sum = Math.max(sum,cur);
        }
        return sum;
    }
}

复杂度分析：

• 时间复杂度 O(N) ： 线性遍历数组 nums 即可获得结果，使用 O(N) 时间。
• 空间复杂度 O(1) ： 使用常数大小的额外空间。

其他优秀解答

解题思路

分治法，我们把数组nums以中间位置（mid)分为左（left)右(right)两部分. 那么有，
left = nums[0]...nums[m - 1] 和 right = nums[m + 1]...nums[n-1]

最大子序列和的位置有以下三种情况：

• 考虑中间元素nums[m], 跨越左右两部分，这里从中间元素开始，往左求出后缀最大，往右求出前缀最大, 保持连续性。
• 不考虑中间元素，最大子序列和出现在左半部分，递归求解左边部分最大子序列和
• 不考虑中间元素，最大子序列和出现在右半部分，递归求解右边部分最大子序列和

代码

class MaximumSubarrayDivideConquer {
  public int maxSubArrayDividConquer(int[] nums) {
      if (nums == null || nums.length == 0) return 0;
      return helper(nums, 0, nums.length - 1);
    }
    private int helper(int[] nums, int l, int r) {
      if (l > r) return Integer.MIN_VALUE;
      int mid = (l + r) >>> 1;
      int left = helper(nums, l, mid - 1);
      int right = helper(nums, mid + 1, r);
      int leftMaxSum = 0;
      int sum = 0;
      // left surfix maxSum start from index mid - 1 to l
      for (int i = mid - 1; i >= l; i--) {
        sum += nums[i];
        leftMaxSum = Math.max(leftMaxSum, sum);
      }
      int rightMaxSum = 0;
      sum = 0;
      // right prefix maxSum start from index mid + 1 to r
      for (int i = mid + 1; i <= r; i++) {
        sum += nums[i];
        rightMaxSum = Math.max(sum, rightMaxSum);
      }
      // max(left, right, crossSum)
      return Math.max(leftMaxSum + rightMaxSum + nums[mid], Math.max(left, right));
    }
}