计数 组合数学总结

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对计数，组合数学DP作总结，给出思路，状态转移方程，略去代码，状态初始值等。

1 划分数

　　(1)m个不可区分的物品分成n份,每份的数量大于等于0，求划分的方法数。

　　思路：

　　1)若m < n, 则等价于m个物品划分为m份。

　　2)否则，若至少存在1份数量为0，则相当于m个物品划分为n - 1份;若每份数量大于等于1，则相当于m - n个物品划分为n份。动态规划或记忆化搜索。

　　(2)整数划分

　　n=x1 + x2 + ... + xi (1 <= xi <= n)，则{x1, x2, ..., xi}为n的一个划分。

　　如果{x1, x2, ..., xi}中的最大值小于等于m，则为n的m划分，记n的m划分的个数为f(n,m)

　　求f(n, m)方法:

　　1)n = 1 或m = 1，则f(n, m) = 1

　　2)n < m,f(n, m ) = f(n, n)

　　3)n = m,f(n, m ) = f(n, n - 1) + 1

　　4)否则，f(n, m) = f(n - m, m) + f(n ,m - 1)

2 HDU1502 Regular Words

　　给定n,求n个A,n个B,n个C组成的串的任意前缀中A的数量大于等于B的数量，B的数量大于等于C的数量的方法数，类似于卡特兰数。

　　dp[i][j][k]表示A, B, C分别i, j, k个时的方法数，则：

　　dp[i][j][k] = dp[i - 1][j][k] + dp[i][j - 1][k] + dp[i][j][k - 1](i >= j >= k)

3 HDU1133 Buy the Ticket

　　m个人手持50元，n个人手持100元，买50元一张的票，售票员开始无零钱，求可行的排队方法数。

　　

方法1:

　　抽象为m个1，n个-1的序列，前k(k <= m + n)项和大于等于0的方法数乘以m! * n!。

　　dp[i][j]表示m个1，n个-1的序列，前k(k <= m + n)项和大于等于0的方法数，则:

　　dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1](i >= j)

方法2:

　　思路来自:http://www.cppblog.com/MiYu/archive/2010/08/08/122676.html，并给出证明

　　m个1，n个-1的序列，前k(k <= m + n)项和大于等于0的方法数等于C(m+n, n) - C(m+n, m+1)，证明如下：

　　A为m个1，n个-1且不符合条件的序列数集合，B为m + 1个1，n - 1个-1的任意序列数集合。

　　(1)将A中任意序列的第一个不符合条件的-1变为1,可得到B中一元素，且A中不同元素得到B中不同元素，故A包含于B

　　(2)将B中任意序列的第一个1变为-1,可得到A中一元素，且B中不同元素得到A中不同元素，故B包含于A

　　综上，集合A,B大小相等。故m个1，n个-1且不符合条件的序列数个数为C(m+n, m+1)。又任意序列方法数为C(m+n, n)，故符合条件的为C(m+n, n) - C(m+n, m+1)。

4 可重组合

　　每个数可以选多次，从n个数中选k个数的方法数：

　　相当于方程x1 + x2 + ... + xn = k有多少组非负整数解。其中xi表示第i个数被选了多少次。引入辅助变量yi = xi + 1,则y1 + y2 + ...+ yn = n + k。问题转化为求此方程的正整数解的个数。故方法数为C(n + k - 1, n - 1).

　　一棵树有n种形态，m棵不考虑顺序则有C(n + m  - 1, m)种形态(HDU1294 Rooted Trees Problem)

　　

5 有重复的组合数

POJ1285 Combinations, Once Again

n种物品，每种num[i]个，求取r个的方法数。

背包思想，f[j]表示当前取j个数的方法数,则状态转移方程为:

f[j] += f[k](max(j - num[i], 0) <= k < j)

外层循环枚举物品，内层循环从大到小枚举空间，最内层枚举方法数。

6 全错位排列

n个数(1 <= i <= n)，任意数i不能排在第i位，求方法数。

1)容斥原理：

n! - C(n , 1) * (n - 1)! +  C(n , 2) * (n - 2)! -...... = n!(1/2! - 1/3! + ... + (-1)^n * 1/n!) 

 2)递推公式：

f(1) = 0, f(2) = 1

f(n) = (n - 1) * (f(n - 1) + f(n - 2)) 

 3)另一公式

简化后的公式是f(n) = [n!/e+0.5] (向下取整)

 应用:HDU3010 N Knight

7 偏序集 Dilworth定理

链:若偏序集<X, ≤>中的任意元素均可比较，称之为链。

反链:若偏序集<X, ≤>中的任意两元素均不可比较，称之为反链。

 

定理1:令<X, ≤>是一个有限偏序集，而设r是其最大链的大小。则X可以被划分成r个且不能更少的反链。

 

其对偶定理称为Dilworth定理：

定理2:令<X, ≤>是一个有限偏序集，并令m是反链的最大大小。则X可以被划分成m个但不能再少的链。

 

参考:《组合数学》

8 棋盘的完美覆盖

m * n的棋盘可以用1 * b的格牌覆盖当且仅当b是m或者n的一个因子

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