uva11426 GCD Extreme(II)

题意：求sum(gcd(i,j),1<=i<j<=n)1<n<4000001

思路：

1.建立递推关系，s(n)=s(n-1)+gcd(1,n)+gcd(2,n)+……+gcd(n-1,n);

2.设f(n)=gcd(1,n)+gcd(2,n)+……+gcd(n-1,n)。

gcd(x,n)=i是n的约数（x<n），按照这个约数进行分类。设满足gcd（x,n）=i的约束有g(n,i)个，则有f(n)=sum(i*g(n,i))。

而gcd(x,n)=i等价于gcd(x/i,n/i)=1，因此g(n,i)等价于phi(n/i).phi(x)为欧拉函数。

3.降低时间复杂度。用筛法预处理phi[x]表

用筛法预处理f(x)->枚举因数，更新其所有倍数求解。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<cassert>

using namespace std;
const int maxn = 4000010;
#define LL long long
#define clc(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
LL S[maxn],f[maxn];
LL phi[maxn];
void phi_table(int n)
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
        phi[i]=0;
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(phi[i]==0)
        {
            for(int j=i;j<=n;j+=i)
            {
                if(!phi[j])
                    phi[j]=j;
                phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
            }
        }
    }
}

int main()
{
    phi_table(maxn);
    clc(f,0);
    for(int i=1;i<=maxn;i++)
    {
        for(int n=i*2;n<=maxn;n+=i)
            f[n]+=i*phi[n/i];
    }
    S[2]=f[2];
    for(int n=3;n<=maxn;n++)
        S[n]=S[n-1]+f[n];
    int n;
    while(scanf("%d",&n),n)
    {
        printf("%lld
",S[n]);
    }
    return 0;
}