HDU5780 gcd 欧拉函数

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5780

BC #85 1005

思路：

首先原式化简：x​^gcd(a,b)​​−1

也就是求n内，(公约数是i的对数)*x^i-1的和，其中i为n内的两两最大公约数。那么问题可以转化成先预处理出i，再求和，注意O(n*300)=1,正常情况会卡常数。必须还要优化

由于 ans=∑s[d]∗(x^​d​​−1)，记s[d]=最大公约数为d的对数

我们注意到求s[d] or (公约数是i的对数)，也就是求n/i以内互质数的对数，显然用欧拉来做

s[d]=2*(phi[1]+phi[2]+...+phi[n/d])-1

注意到：d不同，但是n/d一样，也就是s[d]可能有多个相同，比如 10/6 10/7 10/8 10/9 10/10，所以求s[d]相同的项，我们可以用等比公式求和(快速幂+逆元 新知识)

所以我们只要找到每一段s[d]就可以 即 j=n/(n/i)，j为最后一个相同s[d]的下标

// #pragma comment(linker, "/STACK:102c000000,102c000000")
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using namespace std;
#define pi acos(-1.0)
const int N = 1e6+10;
const int MOD = 1e9+7;
#define inf 0x7fffffff
typedef long long  LL;

void fre() { freopen("in.txt","r",stdin);}
inline int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch>'9'||ch<'0') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9') { x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

LL pow_m(LL x,LL n) 
{
    LL res=1;
    while(n>0)
    {
        if(n & 1)
            res=(res*x)%MOD;
        x=(x*x)%MOD;
        n >>= 1;
    }
    return res;
}

int prime[N],sphi[N];
int inv[N];
void e_fun(){
    sphi[1]=1;
    for(int i=2;i<=N;i++){
        if(!sphi[i]){
            prime[++prime[0]]=i;
            sphi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=N;j++){
            if(i%prime[j]) sphi[i*prime[j]]=sphi[i]*(prime[j]-1);
            else sphi[i*prime[j]]=sphi[i]*prime[j];
        }
    }
    for(int i=1;i<=N;i++) sphi[i]=(sphi[i-1]+sphi[i])%MOD;
    
    //打表求逆元 
    // inv[1] = inv[0] = 1;
    // for(int i = 2;i < N;i++)
    // inv[i] = inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
}


void ex_gcd(LL a,LL b,LL &d,LL &x,LL &y) {
    if (!b) {
        d = a;
        x = 1;
        y = 0;
    }
    else {
        ex_gcd(b, a%b, d, y, x);
        y -= x*(a/b);
    }
    // return x;
}

LL sn(LL q,LL n){
    if(q==1) return n;
    LL x,y,d;
    ex_gcd(q-1,MOD,d,x,y);
    return (pow_m(q,n)-1)*((x+MOD)%MOD)%MOD;
}

int main(){
    e_fun();
    int T;
    T=read();
    while(T--){
        int x,n;
        x=read(),n=read();
        LL ans=0;
        for(int i=1,j;i<=n;i=j+1){
            j=n/(n/i);
            LL sd=2*sphi[n/i]-1;
            ans=(ans + sd*(pow_m(x,i)*sn(x,j-i+1)%MOD -(j-i+1))%MOD) % MOD;
        }
        printf("%I64d
",ans);
    }
    return 0;
}