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  • [Noip2007]Core树网的核

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    Description

    设T=(V, E, W) 是一个无圈且连通的无向图(也称为无根树),每条边带有正整数的权,我们称T为树网(treenetwork),其中V, E分别表示结点与边的集合,W表示各边长度的集合,并设T有n个结点。 路径:树网中任何两结点a,b都存在唯一的一条简单路径,用d(a,b)表示以a,b为端点的路径的长度,它是该路径上各边长度之和。我们称d(a,b)为a,b两结点间的距离。 一点v到一条路径P的距离为该点与P上的最近的结点的距离: d(v,P)=min{d(v,u),u为路径P上的结点}。 树网的直径:树网中最长的路径称为树网的直径。对于给定的树网T,直径不一定是唯一的,但可以证明:各直径的中点(不一定恰好是某个结点,可能在某条边的内部)是唯一的,我们称该点为树网的中心。 偏心距ECC(F):树网T中距路径F最远的结点到路径F的距离,即 。 任务:对于给定的树网T=(V, E,W)和非负整数s,求一个路径F,它是某直径上的一段路径(该路径两端均为树网中的结点),其长度不超过s(可以等于s),使偏心距ECC(F)最小。我们称这个路径为树网T=(V,E,W)的核(Core)。必要时,F可以退化为某个结点。一般来说,在上述定义下,核不一定只有一个,但最小偏心距是唯一的。 下面的图给出了树网的一个实例。图中,A-B与A-C是两条直径,长度均为20。点W是树网的中心,EF边的长度为5。如果指定s=11,则树网的核为路径DEFG(也可以取为路径DEF),偏心距为8。如果指定s=0(或s=1、s=2),则树网的核为结点F,偏心距为12。
     

    下面的图给出了树网的一个实例。图中,A-BABA-CAC是两条直径,长度均为2020。点WW是树网的中心,EFEF边的长度为55。如果指定s=11s=11,则树网的核为路径DEFG(也可以取为路径DEF),偏心距为88。如果指定s=0s=0(或s=1s=1s=2s=2),则树网的核为结点FF,偏心距为1212

    Input

    包含n行: 第1行,两个正整数n和s,中间用一个空格隔开。其中n为树网结点的个数,s为树网的核的长度的上界。设结点编号依次为1, 2, ..., n。 从第2行到第n行,每行给出3个用空格隔开的正整数,依次表示每一条边的两个端点编号和长度。例如,“2 4 7”表示连接结点2与4的边的长度为7。 所给的数据都是正确的,不必检验。

    Output

    只有一个非负整数,为指定意义下的最小偏心距。

    Sample Input

    5 2
    1 2 5
    2 3 2
    2 4 4
    2 5 3

    Sample Output

    5

    HINT

    对于70%的数据,n<=200000
    对于100%的数据:n<=500000, s<2^31, 所有权值<500

    ==============================================
    似乎SPOJ上加强版的数据...

    简单来说就是在最长直径上,维护一段小于s的路径F,使得偏心距最小

    首先明确几个性质:

    1、维护路径F的长度s越长越好

    2、最小偏心距的端点,要么存在于直径的端点,要么存在于最大深度的点

    性质1显然成立

    现在证明性质2:

    以上图为例,假设树网的核为结点C,如果最小偏心距为B的话,那么C-B就会成为直径,而从图上看显然不成立

    先写一遍bfs,莫名WA了,后改成了dfs

     1 #include<iostream>
     2 #include<cstdio>
     3 #include<cstring>
     4 using namespace std;
     5 
     6 const int MAXN=1000000;
     7 const int INF=0x7f7f7f7f;
     8 
     9 struct Edge
    10 {
    11     int to,w,next;
    12 }E[MAXN];
    13 int node,head[MAXN];
    14 int n,s,ans=INF;
    15 int f[MAXN],dis[MAXN];
    16 bool mk[MAXN];
    17 
    18 void insert(int u,int v,int w)
    19 {
    20     E[++node]=(Edge){v,w,head[u]};head[u]=node;
    21     E[++node]=(Edge){u,w,head[v]};head[v]=node;
    22 }
    23 
    24 void dfs(int u,int fa)
    25 {
    26     f[u]=fa;
    27     for(int i=head[u];i;i=E[i].next)
    28     {
    29         if(E[i].to==fa||mk[E[i].to]) continue;
    30         dis[E[i].to]=dis[u]+E[i].w;
    31         dfs(E[i].to,u);
    32     }
    33 }
    34 
    35 int main()
    36 {
    37     scanf("%d%d",&n,&s);
    38     for(int i=1;i<n;i++)
    39     {
    40         int u,v,w;
    41         scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
    42         insert(u,v,w);
    43     }
    44     int l=1,r=1;
    45     dfs(1,0);
    46     for(int i=1;i<=n;i++)
    47         if(dis[i]>dis[l]) l=i;
    48     dis[l]=0;
    49     dfs(l,0);
    50     for(int i=1;i<=n;i++)
    51         if(dis[i]>dis[r]) r=i;
    52     for(int i=r,j=r;i;i=f[i])
    53     {
    54         while(f[j]&&dis[i]-dis[f[j]]<=s) j=f[j];
    55         ans=min(ans,max(dis[j],dis[r]-dis[i]));
    56     }
    57     for(int i=r;i;i=f[i]) mk[i]=1;
    58     for(int i=r;i;i=f[i])
    59     {
    60         dis[i]=0;
    61         dfs(i,f[i]);
    62     }
    63     for(int i=1;i<=n;i++)
    64         ans=max(ans,dis[i]);
    65     printf("%d",ans);
    66     return 0;
    67 }
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